VARIABILE CONTINUA: CARATTERISTICHE, ESEMPI ED ESERCIZI - FISICO - 2026

La variabile continua è quella che può assumere un numero infinito di valori numerici tra due valori dati, anche se questi due valori sono arbitrariamente vicini. Sono usati per descrivere attributi misurabili; per esempio altezza e peso. I valori che una variabile continua assume possono essere numeri razionali, numeri reali o numeri complessi, sebbene quest'ultimo caso sia meno frequente nelle statistiche.

La caratteristica principale delle variabili continue è che tra due valori razionali o reali se ne trova sempre un altro, e tra quell'altro e il primo se ne trova un altro, e così via all'infinito.

Figura 1. La curva rappresenta una distribuzione continua e le barre una discreta. Fonte: pixabay

Ad esempio, supponiamo il peso variabile in un gruppo in cui il più pesante pesa 95 kg e il più basso pesa 48 kg; quello sarebbe l'intervallo della variabile e il numero di valori possibili è infinito.

Ad esempio tra 50,00 kg e 50,10 kg può essere 50,01. Ma tra 50.00 e 50.01 può essere la misura 50.005. Questa è una variabile continua. Se invece nelle possibili misure di peso si stabilisse una precisione di un solo decimale allora la variabile utilizzata sarebbe discreta.

Le variabili continue appartengono alla categoria delle variabili quantitative, perché hanno un valore numerico ad esse associato. Con questo valore numerico è possibile eseguire operazioni matematiche che vanno dai metodi aritmetici a quelli di calcolo infinitesimale.

Esempi

La maggior parte delle variabili in fisica sono variabili continue, tra queste possiamo nominare: lunghezza, tempo, velocità, accelerazione, energia, temperatura e altre.

Variabili continue e variabili discrete

In statistica si possono definire vari tipi di variabili, sia qualitative che quantitative. Le variabili continue appartengono a quest'ultima categoria. Con loro è possibile eseguire operazioni aritmetiche e di calcolo.

Ad esempio, la variabile h, corrispondente a persone con altezza compresa tra 1,50 me 1,95 m, è una variabile continua.

Confrontiamo questa variabile con questa: il numero di volte in cui un lancio di moneta esce testa, che chiameremo n.

La variabile n può assumere valori compresi tra 0 e infinito, tuttavia n non è una variabile continua poiché non può assumere il valore 1.3 o 1.5, perché tra i valori 1 e 2 non ce ne sono altri. Questo è un esempio di una variabile discreta.

Esercizio sulle variabili continue

Considera il seguente esempio: una macchina produce fiammiferi e li confeziona nella sua scatola. Vengono definite due variabili statistiche:

La lunghezza nominale della partita è di 5,0 cm con una tolleranza di 0,1 cm. Il numero di fiammiferi per scatola è 50 con una tolleranza di 3.

a) Indicare l'intervallo di valori che L e N possono assumere.

b) Quanti valori può assumere L?

c) Quanti valori può assumere n?

Indicare in ogni caso se si tratta di una variabile discreta o continua.

Soluzione

I valori di L sono nell'intervallo; ovvero, il valore di L è nell'intervallo e la variabile L può assumere valori infiniti tra queste due misurazioni. È quindi una variabile continua.

Il valore della variabile n è nell'intervallo. La variabile n può assumere solo 6 valori possibili nell'intervallo di tolleranza, quindi è una variabile discreta.

Esercizio di

Se, oltre ad essere continui, i valori assunti dalla variabile hanno una certa probabilità di accadimento ad essi associata, allora è una variabile casuale continua. È molto importante distinguere se la variabile è discreta o continua, poiché i modelli probabilistici applicabili all'una e all'altra sono diversi.

Una variabile casuale continua è completamente definita quando sono noti i valori che può assumere e la probabilità che ciascuno di essi ha di accadere.

-Esercizio 1 delle probabilità

Il matchmaker li fa in modo che la lunghezza dei bastoncini sia sempre compresa tra i valori 4,9 cm e 5,1 cm e zero al di fuori di questi valori. Esiste una probabilità di ottenere un bastoncino che misura tra 5,00 e 5,05 cm, anche se potremmo estrarne anche uno di 5.0003 cm. Questi valori sono ugualmente probabili?

Soluzione

Supponiamo che la densità di probabilità sia uniforme. Di seguito sono elencate le probabilità di trovare una corrispondenza con una certa durata:

-Che una corrispondenza è nell'intervallo ha probabilità = 1 (o 100%), poiché la macchina non disegna corrispondenze al di fuori di quei valori.

-Trovare una corrispondenza compresa tra 4,9 e 5,0 ha probabilità = ½ = 0,5 (50%), poiché è la metà dell'intervallo di lunghezze.

-E anche la probabilità che la corrispondenza abbia una durata compresa tra 5,0 e 5,1 è 0,5 (50%)

-È noto che non esistono fiammiferi di lunghezza compresa tra 5.0 e 5.2. Probabilità: zero (0%).

Probabilità di trovare uno stuzzicadenti in un certo intervallo

Osserviamo ora le seguenti probabilità P di ottenere bastoncini di lunghezza compresa tra l ₁ e l ₂ :

-P che una corrispondenza abbia una lunghezza compresa tra 5.00 e 5.05 è indicata come P ():

-P che la collina abbia lunghezza compresa tra 5,00 e 5,01 è:

-P che la collina abbia una lunghezza compresa tra 5.000 e 5.001 è anche meno:

Se continuiamo a diminuire l'intervallo per avvicinarci sempre di più a 5,00, la probabilità che uno stuzzicadenti sia esattamente 5,00 cm è zero (0%). Quello che abbiamo è la probabilità di trovare una corrispondenza entro un certo intervallo.

Probabilità di trovare più stuzzicadenti in un dato intervallo

Se gli eventi sono indipendenti, la probabilità che due stuzzicadenti siano in un certo intervallo è il prodotto delle loro probabilità.

-La probabilità che due bacchette siano comprese tra 5,0 e 5,1 è 0,5 * 0,5 = 0,25 (0,25%)

-La probabilità che 50 stuzzicadenti siano tra 5,0 e 5,1 è (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, cioè quasi zero.

-La probabilità che 50 stuzzicadenti siano tra 4,9 e 5,1 è (1) ^ 50 = 1 (100%)

-Esercizio 2 delle probabilità

Nell'esempio precedente, si è ipotizzato che la probabilità sia uniforme nell'intervallo dato, tuttavia non è sempre così.

Nel caso della macchina effettiva che produce gli stuzzicadenti, la possibilità che lo stuzzicadenti si trovi al valore centrale è maggiore di quanto non lo sia a uno dei valori estremi. Da un punto di vista matematico questo è modellato con una funzione f (x) nota come densità di probabilità.

La probabilità che la misura L sia compresa tra aeb è calcolata utilizzando l'integrale definito della funzione f (x) tra a e b.

Ad esempio, supponiamo di voler trovare la funzione f (x), che rappresenta una distribuzione uniforme tra i valori 4.9 e 5.1 dell'esercizio 1.

Se la distribuzione di probabilità è uniforme, allora f (x) è uguale alla costante c, che è determinata prendendo l'integrale tra 4.9 e 5.1 di c. Poiché questo integrale è la probabilità, il risultato deve essere 1.

Figura 2. Densità di probabilità uniforme. (Elaborazione propria)

Ciò significa che c vale 1 / 0,2 = 5. Cioè, la funzione di densità di probabilità uniforme è f (x) = {5 se 4,9≤x≤5,1 e 0 al di fuori di questo intervallo. Una funzione di densità di probabilità uniforme è mostrata nella Figura 2.

Si noti come in intervalli della stessa larghezza (ad esempio 0,02) la probabilità sia la stessa al centro che alla fine dell'intervallo della variabile continua L (lunghezza stuzzicadenti).

Un modello più realistico sarebbe una funzione di densità di probabilità come la seguente:

Figura 3. Funzione di densità di probabilità non uniforme. (Elaborazione propria)

Nella figura 3 si può vedere come la probabilità di trovare stuzzicadenti tra 4,99 e 5,01 (larghezza 0,02) sia maggiore di quella di trovare stuzzicadenti tra 4,90 e 4,92 (larghezza 0,02)

Riferimenti

1. Dinov, Ivo. Variabili casuali discrete e distribuzioni di probabilità. Estratto da: stat.ucla.edu
2. Variabili casuali discrete e continue. Estratto da: ocw.mit.edu
3. Variabili casuali discrete e distribuzioni di probabilità. Estratto da: homepage.divms.uiowa.edu
4. H. Pishro. Introduzione alla probabilità. Estratto da: probabilità course.com
5. Mendenhall, W. 1978. Statistics for Management and Economics. Grupo Editorial Iberoamericana. 103-106.
6. Problemi con variabili casuali e modelli di probabilità. Recupero da: ugr.es.
7. Wikipedia. Variabile continua. Estratto da wikipedia.com
8. Wikipedia. Variabile statistica. Estratto da wikipedia.com.