TRIANGOLO ISOSCELE: CARATTERISTICHE, FORMULA E AREA, CALCOLO - MATEMATICA - 2024

Un triangolo isoscele è un poligono con tre lati, di cui due hanno la stessa misura e il terzo lato una misura diversa. Quest'ultimo lato è chiamato base. A causa di questa caratteristica è stato dato questo nome, che in greco significa "gambe uguali"

I triangoli sono poligoni considerati i più semplici in geometria, perché sono formati da tre lati, tre angoli e tre vertici. Sono quelli che hanno il minor numero di lati e angoli rispetto agli altri poligoni, tuttavia il loro utilizzo è molto ampio.

Caratteristiche dei triangoli isosceli

Il triangolo isoscele è stato classificato utilizzando la misura dei suoi lati come parametro, poiché due dei suoi lati sono congruenti (hanno la stessa lunghezza).

In base all'ampiezza degli angoli interni, i triangoli isosceli sono classificati come:

• Triangolo retto isoscele : due dei suoi lati sono uguali. Un angolo è diritta (90 ^o ) e gli altri sono lo stesso (45 ^o ciascuna)
• Triangolo isoscele ottuso : due dei suoi lati sono uguali. Uno degli angoli è ottuso (> 90 ^o ).
• Triangolo acuto isoscele : due dei suoi lati sono uguali. Tutti gli angoli sono acuti (<90 ^o ) dove entrambi hanno la stessa misura.

componenti

• La mediana : è una linea che parte dal punto medio di un lato e raggiunge il vertice opposto. Le tre mediane si incontrano in un punto chiamato baricentro o centroide.
• La bisettrice : è un raggio che divide l'angolo di ogni vertice in due angoli di uguale misura. Questo è il motivo per cui è noto come l'asse di simmetria e questo tipo di triangoli ne ha solo uno.
• La bisettrice : è un segmento perpendicolare al lato del triangolo, che ha la sua origine al centro di esso. Ci sono tre mediatori in un triangolo e si incontrano in un punto chiamato circumcentro.
• L'altezza : è la linea che va dal vertice al lato opposto e anche questa linea è perpendicolare a quel lato. Tutti i triangoli hanno tre altezze, che coincidono in un punto chiamato ortocentro.

Proprietà

I triangoli isosceli sono definiti o identificati perché hanno diverse proprietà che li rappresentano, originati dai teoremi proposti dai grandi matematici:

Angoli interni

La somma degli angoli interni è sempre pari a 180 ^° .

Somma dei lati

La somma delle misure di due lati deve essere sempre maggiore della misura del terzo lato, a + b> c.

Lati congruenti

I triangoli isosceli hanno due lati con la stessa misura o lunghezza; cioè, sono congruenti e il terzo lato è diverso da questi.

Angoli congruenti

I triangoli isosceli sono noti anche come triangoli isoangle, perché hanno due angoli che hanno la stessa misura (congruente). Questi si trovano alla base del triangolo, opposti ai lati della stessa lunghezza.

A causa di ciò, è stato generato il teorema che afferma che:

"Se un triangolo ha due lati congruenti, anche gli angoli opposti a quei lati saranno congruenti." Pertanto, se un triangolo è isoscele, gli angoli delle sue basi sono congruenti.

Esempio:

La figura seguente mostra un triangolo ABC. Disegnando la sua bisettrice dal vertice dell'angolo B alla base, il triangolo viene diviso in due triangoli uguali BDA e BDC:

In questo modo anche l'angolo del vertice B è stato diviso in due angoli uguali. La bisettrice è ora il lato comune (BD) tra questi due nuovi triangoli, mentre i lati AB e BC sono i lati congruenti. Quindi abbiamo il caso della congruenza laterale, angolare, laterale (LAL).

Ciò mostra che gli angoli dei vertici A e C hanno la stessa misura, così come si può anche dimostrare che poiché i triangoli BDA e BDC sono congruenti, anche i lati AD e DC sono congruenti.

Altezza, mediana, bisettrice e bisettrice sono coincidenti

La linea che viene tracciata dal vertice opposto alla base al punto medio della base del triangolo isoscele, è allo stesso tempo l'altezza, la mediana e la bisettrice, nonché la bisettrice rispetto all'angolo opposto della base.

Tutti questi segmenti coincidono in uno che li rappresenta.

Esempio:

La figura seguente mostra il triangolo ABC con un punto medio M che divide la base in due segmenti BM e CM.

Disegnando un segmento dal punto M al vertice opposto, per definizione si ottiene la mediana AM, che è relativa al vertice A e al lato BC.

Poiché il segmento AM divide il triangolo ABC in due triangoli uguali AMB e AMC, significa che si avrà il caso di congruenza lato, angolo, lato e quindi AM sarà anche la bisettrice di BÂC.

Pertanto, la bisettrice sarà sempre uguale alla mediana e viceversa.

Il segmento AM forma angoli che hanno la stessa misura per i triangoli AMB e AMC; cioè sono supplementari in modo tale che la misura di ciascuno sarà:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180 ^o

2 _* Med. (AMC) = 180 ^o

Med. (AMC) = 180 ^o ÷ 2

Med. (AMC) = 90 ^o

Si può sapere che gli angoli formati dal segmento AM rispetto alla base del triangolo sono retti, il che indica che questo segmento è totalmente perpendicolare alla base.

Quindi rappresenta l'altezza e la bisettrice, sapendo che M è il punto medio.

Pertanto la linea AM:

• Rappresenta all'altezza del BC.
• È di medie dimensioni.
• È contenuto all'interno della bisettrice di BC.
• È la bisettrice dell'angolo del vertice Â

Altezze relative

Anche le altezze relative a lati uguali hanno la stessa misura.

Poiché il triangolo isoscele ha due lati uguali, anche le loro due rispettive altezze saranno uguali.

Ortocenter, baricentro, incenter e circumcenter coincidente

Poiché l'altezza, mediana, bisettrice e bisettrice rispetto alla base, sono rappresentate contemporaneamente dallo stesso segmento, l'ortocentro, il baricentro centrale e il circumcentro saranno punti collineari, cioè saranno sulla stessa linea:

Come calcolare il perimetro?

Il perimetro di un poligono viene calcolato sommando i lati.

Poiché in questo caso il triangolo isoscele ha due lati con la stessa misura, il suo perimetro viene calcolato con la seguente formula:

P = 2 _* (lato a) + (lato b).

Come calcolare l'altezza?

L'altezza è la linea perpendicolare alla base, divide il triangolo in due parti uguali mentre si estende fino al vertice opposto.

L'altezza rappresenta la gamba opposta (a), il centro della base (b / 2) la gamba adiacente e il lato “a” rappresenta l'ipotenusa.

Usando il teorema di Pitagora, il valore dell'altezza può essere determinato:

a ² + b ² = c ²

Dove:

a ² = altezza (h).

b ² = b / 2.

c ² = lato a.

Sostituendo questi valori nel teorema di Pitagora e risolvendo l'altezza, abbiamo:

h ² + (b / 2) ² = a ²

h ² + b ² /4 = un ²

h ² = a ² - b ² /4

h = √ (a ² - b ² /4).

Se si conosce l'angolo formato dai lati congruenti, l'altezza può essere calcolata con la seguente formula:

Come calcolare l'area?

L'area dei triangoli si calcola sempre con la stessa formula, moltiplicando la base per altezza e dividendo per due:

Ci sono casi in cui sono note solo le misure di due lati del triangolo e l'angolo formato tra di loro. In questo caso, per determinare l'area è necessario applicare i rapporti trigonometrici:

Come calcolare la base del triangolo?

Poiché il triangolo isoscele ha due lati uguali, per determinare il valore della sua base è necessario conoscere almeno la misura dell'altezza o uno dei suoi angoli.

Conoscendo l'altezza, viene utilizzato il teorema di Pitagora:

a ² + b ² = c ²

Dove:

a ² = altezza (h).

c ² = lato a.

b ² = b / 2, è sconosciuto.

Isoliamo b ² dalla formula e abbiamo:

b ² = a ² - c ²

b = √ a ² - c ²

Poiché questo valore corrisponde alla metà della base, deve essere moltiplicato per due per ottenere la misura completa della base del triangolo isoscele:

b = 2 _* (√ a ² - c ² )

Nel caso in cui si conosca solo il valore dei suoi lati uguali e l'angolo tra loro, si applica la trigonometria, tracciando una linea dal vertice alla base che divide il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli.

In questo modo si calcola metà della base con:

È anche possibile che siano noti solo il valore dell'altezza e dell'angolo del vertice opposto alla base. In tal caso, mediante trigonometria la base può essere determinata:

esercizi

Primo esercizio

Trova l'area del triangolo isoscele ABC, sapendo che due dei suoi lati sono 10 cm e il terzo lato è 12 cm.

Soluzione

Per trovare l'area del triangolo, è necessario calcolare l'altezza utilizzando la formula dell'area che è correlata al teorema di Pitagora, poiché il valore dell'angolo formato tra i lati uguali non è noto.

Abbiamo i seguenti dati del triangolo isoscele:

• Lati uguali (a) = 10 cm.
• Base (b) = 12 cm.

I valori vengono sostituiti nella formula:

Secondo esercizio

La lunghezza dei due lati uguali di un triangolo isoscele è di 42 cm, l'unione di questi lati forma un angolo di 130 ^o . Determina il valore del terzo lato, l'area di quel triangolo e il perimetro.

Soluzione

In questo caso sono note le misure dei lati e l'angolo tra di loro.

Per conoscere il valore del lato mancante, cioè la base di quel triangolo, si traccia ad esso una linea perpendicolare, dividendo l'angolo in due parti uguali, una per ogni triangolo rettangolo che si forma.

• Lati uguali (a) = 42 cm.
• Angolo (Ɵ) = 130 ^o

Ora per trigonometria si calcola il valore della metà della base, che corrisponde alla metà dell'ipotenusa:

Per calcolare l'area è necessario conoscere l'altezza di quel triangolo, che può essere calcolata dalla trigonometria o dal teorema di Pitagora, ora che il valore della base è già stato determinato.

Per trigonometria sarà:

Il perimetro viene calcolato:

P = 2 _* (lato a) + (lato b).

P = 2 _* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Terzo esercizio

Calcola gli angoli interni del triangolo isoscele, sapendo che l'angolo della base è Â = 55 ^o

Soluzione

Per trovare i due angoli mancanti (Ê e Ô) è necessario ricordare due proprietà dei triangoli:

• La somma degli angoli interni di ogni triangolo sarà sempre = 180 ^oppure :

 + Ê + Ô = 180 ^o

• In un triangolo isoscele gli angoli della base sono sempre congruenti, cioè hanno la stessa misura, quindi:

 = Ô

Ê = 55 ^o

Per determinare il valore dell'angolo Ê, sostituiamo i valori degli altri angoli nella prima regola e risolviamo per Ê:

55 ^o + 55 ^o + Ô = 180 ^o

110 ^o + Ô = 180 ^o

Ô = 180 ^o - 110 ^o

Ô = 70 ^o .

Riferimenti

1. Álvarez, E. (2003). Elementi di geometria: con numerosi esercizi e geometria del compasso. Università di Medellin.
2. Álvaro Rendón, AR (2004). Disegno tecnico: quaderno delle attività.
3. Angelo, AR (2007). Algebra elementare. Pearson Education.
4. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra e trigonometria con geometria analitica. Pearson Education.
5. Baldor, A. (1941). Algebra. L'Avana: Cultura.
6. José Jiménez, LJ (2006). Matematica 2.
7. Tuma, J. (1998). Manuale di matematica ingegneristica. Wolfram MathWorld.