TRIANGOLO SCALENO: CARATTERISTICHE, FORMULA E AREE, CALCOLO - MATEMATICA - 2025

Un triangolo scaleno è un poligono con tre lati, ognuno dei quali ha misure o lunghezze diverse; per questo motivo le viene dato il nome di scalene, che in latino significa arrampicata.

I triangoli sono poligoni considerati i più semplici in geometria, perché sono formati da tre lati, tre angoli e tre vertici. Nel caso del triangolo scaleno, avendo tutti i lati diversi, implica che lo saranno anche i suoi tre angoli.

Caratteristiche dei triangoli scaleni

I triangoli scaleni sono poligoni semplici perché nessuno dei loro lati o angoli ha la stessa misura, a differenza degli isosceli e dei triangoli equilateri.

Poiché tutti i lati e gli angoli hanno misure diverse, questi triangoli sono considerati poligoni convessi irregolari.

In base all'ampiezza degli angoli interni, i triangoli scaleni sono classificati come:

• Triangolo rettangolo scaleno : tutti i lati sono diversi. Uno dei suoi angoli è retto (90 ^o ) e gli altri sono acuti e con misure diverse.
• Triangolo scaleno ottuso : tutti i lati sono diversi e uno dei suoi angoli è ottuso (> 90 ^o ).
• Triangolo acuto scaleno : tutti i lati sono diversi. Tutti gli angoli sono acuti (<90 ^o ) con misure diverse.

Un'altra caratteristica dei triangoli scaleni è che a causa dell'incongruenza dei loro lati e angoli, non hanno un asse di simmetria.

componenti

La mediana : è una linea che parte dal punto medio di un lato e raggiunge il vertice opposto. Le tre mediane si incontrano in un punto chiamato baricentro o centroide.

La bisettrice : è un raggio che divide ogni angolo in due angoli di uguale misura. Le bisettrici di un triangolo si incontrano in un punto chiamato incentro.

La bisettrice : è un segmento perpendicolare al lato del triangolo, che ha la sua origine al centro di esso. Ci sono tre bisettrici in un triangolo e si incontrano in un punto chiamato circumcentro.

L'altezza : è la linea che va dal vertice al lato opposto e anche questa linea è perpendicolare a quel lato. Tutti i triangoli hanno tre altezze che coincidono in un punto chiamato ortocentro.

Proprietà

I triangoli scaleni sono definiti o identificati perché hanno diverse proprietà che li rappresentano, originati dai teoremi proposti dai grandi matematici. Loro sono:

Angoli interni

La somma degli angoli interni è sempre pari a 180 ^° .

Somma dei lati

La somma delle misure di due lati deve essere sempre maggiore della misura del terzo lato, a + b> c.

Lati incongruenti

Tutti i lati dei triangoli scaleni hanno misure o lunghezze diverse; cioè sono incongruenti.

Angoli incongrui

Poiché tutti i lati del triangolo scaleno sono diversi, anche i suoi angoli lo saranno. Tuttavia, la somma degli angoli interni sarà sempre uguale a 180º, e in alcuni casi uno dei suoi angoli può essere ottuso o retto, mentre in altri tutti i suoi angoli saranno acuti.

Altezza, mediana, bisettrice e bisettrice non sono coincidenti

Come ogni triangolo, lo scaleno ha vari segmenti di linea che lo compongono, come: altezza, mediana, bisettrice e bisettrice.

A causa della particolarità dei suoi lati, in questo tipo di triangolo nessuna di queste linee coinciderà in una.

Ortocentro, baricentro, incentro e circumcentro non sono coincidenti

Poiché l'altezza, la mediana, la bisettrice e la bisettrice sono rappresentate da segmenti di linea diversi, in un triangolo scaleno i punti di incontro - l'ortocentro, l'incentro e il circumcentro - si troveranno in punti diversi (non coincidono).

A seconda che il triangolo sia acuto, retto o scaleno, l'ortocentro ha posizioni diverse:

per. Se il triangolo è acuto, l'ortocentro sarà all'interno del triangolo.

b. Se il triangolo è retto, l'ortocentro coinciderà con il vertice del lato destro.

c. Se il triangolo è ottuso, l'ortocentro sarà all'esterno del triangolo.

Altezze relative

Le altezze sono relative ai lati.

Nel caso del triangolo scaleno, queste altezze avranno misure diverse. Ogni triangolo ha tre altezze relative e per calcolarle viene utilizzata la formula di Heron.

Come calcolare il perimetro?

Il perimetro di un poligono viene calcolato sommando i lati.

Poiché in questo caso il triangolo scaleno ha tutti i suoi lati con misure diverse, il suo perimetro sarà:

P = lato a + lato b + lato c.

Come calcolare l'area?

L'area dei triangoli si calcola sempre con la stessa formula, moltiplicando la base per l'altezza e dividendo per due:

Area = (base _* h) ÷ 2

In alcuni casi non si conosce l'altezza del triangolo scaleno, ma esiste una formula che fu proposta dal matematico Herón, per calcolare l'area conoscendo la misura dei tre lati di un triangolo.

Dove:

• a, bec, rappresentano i lati del triangolo.
• sp, corrisponde al semiperimetro del triangolo, cioè metà del perimetro:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Nel caso in cui abbiamo solo la misura di due dei lati del triangolo e l'angolo formato tra di loro, l'area può essere calcolata applicando i rapporti trigonometrici. Quindi devi:

Area = (lato _* h) ÷ 2

Dove l'altezza (h) è il prodotto di un lato e il seno dell'angolo opposto. Ad esempio, per ogni lato, l'area sarà:

• Area = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Area = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Area = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Come calcolare l'altezza?

Poiché tutti i lati del triangolo scaleno sono diversi, non è possibile calcolare l'altezza con il teorema di Pitagora.

Dalla formula di Heron, che si basa sulle misure dei tre lati di un triangolo, si può calcolare l'area.

L'altezza può essere cancellata dalla formula generale dell'area:

Il lato è sostituito dalla misura del lato a, b o c.

Un altro modo per calcolare l'altezza quando il valore di uno degli angoli è noto, è applicare i rapporti trigonometrici, dove l'altezza rappresenterà una gamba del triangolo.

Ad esempio, quando l'angolo opposto all'altezza è noto, sarà determinato dal seno:

Come calcolare i lati?

Quando hai la misura di due lati e l'angolo opposto a loro, è possibile determinare il terzo lato applicando il teorema del coseno.

Ad esempio, in un triangolo AB, viene tracciata l'altezza relativa al segmento AC. In questo modo il triangolo viene diviso in due triangoli rettangoli.

Per calcolare il lato c (segmento AB), applica il teorema di Pitagora per ogni triangolo:

• Per il triangolo blu abbiamo:

c ² = h ² + m ²

Poiché m = b - n, sostituiamo:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - 2bn + n ² .

• Per il triangolo rosa devi:

h ² = a ² - n ²

È sostituito nell'equazione precedente:

c ² = a ² - n ² + b ² - 2bn + n ²

c ² = a ² + b ² - 2bn.

Sapendo che n = a _* cos C, viene sostituito nell'equazione precedente e si ottiene il valore del lato c:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Per la legge dei coseni, i lati possono essere calcolati come:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Ci sono casi in cui non si conoscono le misure dei lati del triangolo, ma piuttosto la loro altezza e gli angoli formati ai vertici. Per determinare l'area in questi casi è necessario applicare i rapporti trigonometrici.

Conoscendo l'angolo di uno dei suoi vertici, si individuano le gambe e si utilizza il corrispondente rapporto trigonometrico:

Ad esempio, la gamba AB sarà opposta per l'angolo C, ma adiacente all'angolo A. A seconda del lato o della gamba corrispondente all'altezza, l'altro lato viene liberato per ottenere il valore di questo.

esercizi

Primo esercizio

Calcola l'area e l'altezza del triangolo scaleno ABC, sapendo che i suoi lati sono:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Soluzione

Come dati, vengono fornite le misure dei tre lati del triangolo scaleno.

Poiché il valore dell'altezza non è disponibile, l'area può essere determinata applicando la formula di Heron.

Per prima cosa si calcola il semiperimetro:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Ora i valori vengono sostituiti nella formula di Heron:

Conoscendo l'area si può calcolare l'altezza relativa al lato b. Dalla formula generale, cancellandola, abbiamo:

Area = (lato _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* h) ÷ 2

h = (2 _* 46,47 cm ² ) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm ² ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Secondo esercizio

Dato il triangolo scaleno ABC, le cui misure sono:

• Segmento AB = 25 m.
• Segmento BC = 15 m.

Al vertice B si forma un angolo di 50º. Calcola l'altezza relativa al lato c, il perimetro e l'area di quel triangolo.

Soluzione

In questo caso abbiamo le misure di due lati. Per determinare l'altezza è necessario calcolare la misura del terzo lato.

Poiché viene fornito l'angolo opposto ai lati dati, è possibile applicare la legge dei coseni per determinare la misura del lato AC (b):

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Dove:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50 ^o .

I dati vengono sostituiti:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482.025)

b ² = 367.985

b = √367.985

b = 19,18 m.

Poiché abbiamo già il valore dei tre lati, viene calcolato il perimetro di quel triangolo:

P = lato a + lato b + lato c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Ora è possibile determinare l'area applicando la formula di Heron, ma prima bisogna calcolare il semiperimetro:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Le misure dei lati e del semiperimetro sono sostituite nella formula di Heron:

Infine conoscendo l'area si può calcolare l'altezza relativa al lato c. Dalla formula generale, svuotandola devi:

Area = (lato _* h) ÷ 2

143,63 m ² = (25 m _* h) ÷ 2

h = (2 _* 143,63 m ² ) ÷ 25 m

h = 287,3 m ² ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Terzo esercizio

Nel triangolo scaleno ABC il lato b è di 40 cm, il lato c è di 22 cm e all'apice A si forma un angolo 90 ^o . Calcola l'area di quel triangolo.

Soluzione

In questo caso vengono fornite le misure di due lati del triangolo scaleno ABC, nonché l'angolo che si forma al vertice A.

Per determinare l'area, non è necessario calcolare la misura del lato a, poiché attraverso i rapporti trigonometrici si usa l'angolo per trovarla.

Poiché l'angolo opposto all'altezza è noto, sarà determinato dal prodotto di un lato e dal seno dell'angolo.

Sostituendo nella formula dell'area abbiamo:

• Area = (lato _* h) ÷ 2
• h = c _* sin A

Area = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Area = (40 cm _* 22 cm _* sin 90) ÷ 2

Area = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Area = 880 cm ² ÷ 2

Area = 440 cm ² .

Riferimenti

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Disegno tecnico: quaderno delle attività.
2. Ángel Ruiz, HB (2006). Geometrie. Tecnologia CR ,.
3. Angelo, AR (2007). Algebra elementare. Pearson Education,.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. L'Avana: Cultura.
5. Barbosa, JL (2006). Geometria euclidea piana. Rio de Janeiro ,.
6. Coxeter, H. (1971). Fondamenti di geometria. Messico: Limusa-Wiley.
7. Daniel C. Alexander, GM (2014). Geometria elementare per studenti universitari. Cengage Learning.
8. Harpe, P. d. (2000). Argomenti in Teoria geometrica dei gruppi. University of Chicago Press.