TRASFORMATA DI LAPLACE: DEFINIZIONE, STORIA E A COSA SERVE - MATEMATICA - 2025

La trasformata di Laplace è stata negli ultimi anni di grande importanza negli studi di ingegneria, matematica, fisica, tra le altre aree scientifiche, oltre ad essere di grande interesse in teoria, fornisce un modo semplice per risolvere i problemi che derivano da scienza e ingegneria.

Originariamente la trasformata di Laplace è stata presentata da Pierre-Simón Laplace nel suo studio sulla teoria della probabilità ed è stata inizialmente trattata come un oggetto matematico di interesse puramente teorico.

Le attuali applicazioni sorgono quando vari matematici hanno cercato di dare una giustificazione formale alle "regole operative" utilizzate da Heaviside nello studio delle equazioni della teoria elettromagnetica.

Definizione

Sia f una funzione definita per t ≥ 0. La trasformata di Laplace è definita come segue:

Si dice che la trasformata di Laplace esiste se l'integrale precedente converge, altrimenti si dice che la trasformata di Laplace non esiste.

In generale, le lettere minuscole vengono utilizzate per indicare la funzione da trasformare e la lettera maiuscola corrisponde alla sua trasformazione. In questo modo avremo:

Esempi

Considera la funzione costante f (t) = 1. Abbiamo la sua trasformata:

Ogni volta che l'integrale converge, cioè ogni volta che s> 0. Altrimenti, s <0, l'integrale diverge.

Sia g (t) = t. La sua trasformata di Laplace è data da

Integrando per parti e sapendo che te ^-st tende a 0 quando t tende a infinito es> 0, insieme all'esempio precedente abbiamo:

La trasformata può o non può esistere, ad esempio per la funzione f (t) = 1 / t l'integrale che definisce la sua trasformata di Laplace non converge e quindi la sua trasformata non esiste.

Condizioni sufficienti per garantire che la trasformata di Laplace di una funzione f esista sono che f sia continua a tratti per t ≥ 0 e sia di ordine esponenziale.

Una funzione si dice continua a tratti per t ≥ 0, quando per qualsiasi intervallo con a> 0, vi è un numero finito di punti t _k, dove f ha discontinuità ed è continua in ogni sottointervallo.

D'altra parte, una funzione si dice di ordine esponenziale c se ci sono costanti reali M> 0, ce T> 0 tali che:

Come esempio abbiamo che f (t) = t ² è di ordine esponenziale, poiché -t ² - <e ^3t per ogni t> 0.

Formalmente abbiamo il seguente teorema

Teorema (condizioni sufficienti per l'esistenza)

Se f è una funzione parzialmente continua per t> 0 e di ordine esponenziale c, allora la trasformata di Laplace esiste per s> c.

È importante sottolineare che questa è una condizione di sufficienza, cioè potrebbe essere il caso che ci sia una funzione che non soddisfa queste condizioni e anche allora esiste la sua trasformata di Laplace.

Un esempio di ciò è la funzione f (t) = t ^-1/2 che non è continua a ^tratti per t ≥ 0 ma esiste la sua trasformata di Laplace.

Trasformata di Laplace di alcune funzioni di base

La tabella seguente mostra le trasformate di Laplace delle funzioni più comuni.

Storia

La trasformata di Laplace deve il suo nome a Pierre-Simon Laplace, un matematico e astronomo teorico francese nato nel 1749 e morto nel 1827. La sua fama era tale che era conosciuto come il Newton di Francia.

Nel 1744 Leonard Euler dedicò i suoi studi agli integrali con la forma

come soluzioni di equazioni differenziali ordinarie, ma abbandonò rapidamente questa indagine. Successivamente, Joseph Louis Lagrange, che ammirava molto Eulero, studiò anche questi tipi di integrali e li collegò alla teoria della probabilità.

1782, Laplace

Nel 1782 Laplace iniziò a studiare questi integrali come soluzioni di equazioni differenziali e secondo gli storici, nel 1785 decise di riformulare il problema, che in seguito diede origine alle trasformate di Laplace così come vengono intese oggi.

Essendo stato introdotto nel campo della teoria della probabilità, all'epoca era di scarso interesse per gli scienziati ed era visto solo come un oggetto matematico di interesse solo teorico.

Oliver Heaviside

Fu a metà del XIX secolo che l'ingegnere inglese Oliver Heaviside scoprì che gli operatori differenziali possono essere trattati come variabili algebriche, dando così alle trasformate di Laplace la loro moderna applicazione.

Oliver Heaviside era un fisico, ingegnere elettrico e matematico inglese nato a Londra nel 1850 e morto nel 1925. Mentre cercava di risolvere problemi di equazioni differenziali applicati alla teoria delle vibrazioni e utilizzando gli studi di Laplace, iniziò a modellare il Applicazioni moderne delle trasformate di Laplace.

I risultati presentati da Heaviside si diffusero rapidamente nella comunità scientifica dell'epoca, ma poiché il suo lavoro non era rigoroso, fu rapidamente criticato dai matematici più tradizionali.

Tuttavia, l'utilità del lavoro di Heaviside nella risoluzione di equazioni in fisica ha reso i suoi metodi popolari tra fisici e ingegneri.

Nonostante queste battute d'arresto e dopo alcuni decenni di tentativi falliti, all'inizio del XX secolo si poteva dare una rigorosa giustificazione alle regole operative date da Heaviside.

Questi tentativi hanno dato i loro frutti grazie agli sforzi di vari matematici come Bromwich, Carson, van der Pol, tra gli altri.

Proprietà

Tra le proprietà della trasformata di Laplace, spiccano le seguenti:

Linearità

Siano c1 e c2 costanti e funzioni f (t) eg (t) le cui trasformate di Laplace sono rispettivamente F (s) e G (s), allora abbiamo:

A causa di questa proprietà, si dice che la trasformata di Laplace sia un operatore lineare.

Esempio

Primo teorema di traduzione

Se succede che:

E 'a' è qualsiasi numero reale, quindi:

Esempio

Poiché la trasformata di Laplace di cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) allora:

Secondo teorema di traduzione

sì

Così

Esempio

Se f (t) = t ^ 3, allora F (s) = 6 / s ^ 4. E quindi la trasformazione di

è G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Cambio di scala

sì

E 'a' è un reale diverso da zero, dobbiamo

Esempio

Poiché la trasformazione di f (t) = sin (t) è F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) abbiamo che

Trasformata di Laplace delle derivate

Se f, f ', f' ', …, f ⁽ⁿ⁾ sono continui per t ≥ 0 e sono di ordine esponenziale e f ⁽ⁿ⁾ (t) è continuo a tratti per t ≥ 0, allora

Trasformata di Laplace degli integrali

sì

Così

Moltiplicazione per t

Se dobbiamo

Così

Divisione per t

Se dobbiamo

Così

Funzioni periodiche

Sia f una funzione periodica con periodo T> 0, cioè f (t + T) = f (t), allora

Il comportamento di F (s) come s tende all'infinito

Se f è continua in parti e di ordine esponenziale e

Così

Trasformazioni inverse

Quando applichiamo la trasformata di Laplace a una funzione f (t) otteniamo F (s), che rappresenta questa trasformata. Allo stesso modo possiamo dire che f (t) è la trasformata di Laplace inversa di F (s) ed è scritto come

Sappiamo che le trasformate di Laplace di f (t) = 1 eg (t) = t sono F (s) = 1 / se G (s) = 1 / s ² rispettivamente, quindi abbiamo che

Alcune trasformazioni inverse di Laplace comuni sono le seguenti

Inoltre, la trasformata inversa di Laplace è lineare, cioè è vero che

Esercizio

Trova

Per risolvere questo esercizio dobbiamo abbinare la funzione F (s) con una della tabella precedente. In questo caso se prendiamo un + 1 = 5 e usando la proprietà di linearità della trasformata inversa, moltiplichiamo e dividiamo per 4! Ottenere

Per la seconda trasformata inversa applichiamo frazioni parziali per riscrivere la funzione F (s) e quindi la proprietà della linearità, ottenendo

Come possiamo vedere da questi esempi, è comune che la funzione F (s) che viene valutata non corrisponda esattamente a nessuna delle funzioni fornite nella tabella. Per questi casi, come si vede, è sufficiente riscrivere la funzione fino a quando non raggiunge la forma appropriata.

Applicazioni della trasformata di Laplace

Equazioni differenziali

L'applicazione principale delle trasformate di Laplace è la risoluzione di equazioni differenziali.

Utilizzando la proprietà della trasformata di una derivata è chiaro che

Y delle derivate n-1 valutate at = 0.

Questa proprietà rende la trasformata molto utile per risolvere problemi ai valori iniziali in cui sono coinvolte equazioni differenziali a coefficienti costanti.

I seguenti esempi mostrano come utilizzare la trasformata di Laplace per risolvere equazioni differenziali.

Esempio 1

Dato il seguente problema di valore iniziale

Usa la trasformata di Laplace per trovare la soluzione.

Applichiamo la trasformata di Laplace a ciascun membro dell'equazione differenziale

Dalla proprietà della trasformata di una derivata che abbiamo

Sviluppando tutte le espressioni e chiarendo Y (s) abbiamo

Usando le frazioni parziali per riscrivere il lato destro dell'equazione che otteniamo

Infine, il nostro obiettivo è trovare una funzione y (t) che soddisfi l'equazione differenziale. L'uso della trasformata inversa di Laplace ci dà il risultato

Esempio 2

Risolvere

Come nel caso precedente, applichiamo la trasformazione su entrambi i lati dell'equazione e separiamo termine per termine.

In questo modo abbiamo come risultato

Sostituendo con i valori iniziali dati e risolvendo Y (s)

Usando semplici frazioni possiamo riscrivere l'equazione come segue

E l'applicazione della trasformata inversa di Laplace ci dà il risultato

In questi esempi, si potrebbe erroneamente concludere che questo metodo non è molto migliore dei metodi tradizionali per risolvere le equazioni differenziali.

Il vantaggio della trasformata di Laplace è che non è necessario utilizzare la variazione dei parametri o preoccuparsi dei vari casi del metodo del coefficiente indeterminato.

Inoltre, quando si risolvono problemi di valore iniziale con questo metodo, fin dall'inizio utilizziamo le condizioni iniziali, quindi non è necessario eseguire altri calcoli per trovare la soluzione particolare.

Sistemi di equazioni differenziali

La trasformata di Laplace può essere utilizzata anche per trovare soluzioni a equazioni differenziali ordinarie simultanee, come mostra il seguente esempio.

Esempio

Risolvere

Con le condizioni iniziali x (0) = 8 e y (0) = 3.

Se dobbiamo

Così

La soluzione ci dà come risultato

E applicando la trasformata inversa di Laplace che abbiamo

Meccanica e circuiti elettrici

La trasformata di Laplace è di grande importanza in fisica, ha principalmente applicazioni per la meccanica e i circuiti elettrici.

Un semplice circuito elettrico è costituito dai seguenti elementi

Un interruttore, una batteria o una sorgente, un induttore, un resistore e un condensatore. Quando l'interruttore è chiuso, viene prodotta una corrente elettrica che è indicata con i (t). La carica sul condensatore è indicata da q (t).

Secondo la seconda legge di Kirchhoff, la tensione prodotta dalla sorgente E nel circuito chiuso deve essere uguale alla somma di ciascuna delle cadute di tensione.

La corrente elettrica i (t) è correlata alla carica q (t) sul condensatore da i = dq / dt. D'altra parte, la caduta di tensione in ciascuno degli elementi è definita come segue:

La caduta di tensione su un resistore è iR = R (dq / dt)

La caduta di tensione su un induttore è L (di / dt) = L (d ² q / dt ² )

La caduta di tensione su un condensatore è q / C

Con questi dati e applicando la seconda legge di Kirchhoff al circuito chiuso semplice, si ottiene un'equazione differenziale del secondo ordine che descrive il sistema e permette di determinare il valore di q (t).

Esempio

Un induttore, un condensatore e un resistore sono collegati a una batteria E, come mostrato in figura. L'induttore è di 2 henry, il condensatore è di 0,02 farad e la resistenza è di 16 ohm. All'istante t = 0 il circuito è chiuso. Trova la carica e la corrente in qualsiasi momento t> 0 se E = 300 volt.

Abbiamo che l'equazione differenziale che descrive questo circuito è la seguente

Dove le condizioni iniziali sono q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Applicando la trasformata di Laplace lo otteniamo

E risolvendo per Q (t)

Quindi, applicando la trasformata inversa di Laplace che abbiamo

Riferimenti

1. G. Holbrook, J. (1987). Trasformata di Laplace per ingegneri elettronici. Limusa.
2. Ruiz, LM e Hernandez, MP (2006). Equazioni differenziali e trasformata di Laplace con applicazioni. Editoriale UPV.
3. Simmons, GF (1993). Equazioni differenziali con applicazioni e cenni storici. McGraw-Hill.
4. Spiegel, MR (1991). Trasformate di Laplace. McGraw-Hill.
5. Zill, DG e Cullen, MR (2008). Equazioni differenziali con problemi ai valori di confine. Cengage Learning Editores, SA