TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETÀ, APPLICAZIONI, ESEMPI - MATEMATICA - 2026

La trasformata di Fourier è un metodo di adeguatezza analitica orientato a funzioni integrabili che appartiene alla famiglia delle trasformate integrali. Consiste in una ridefinizione delle funzioni f (t) in termini di Cos (t) e Sen (t).

Le identità trigonometriche di queste funzioni, insieme alle loro caratteristiche di derivazione e antiderivazione, servono a definire la trasformata di Fourier attraverso la seguente funzione complessa:

Il che è vero finché l'espressione ha un senso, cioè quando l'integrale improprio è convergente. Algebricamente si dice che la trasformata di Fourier sia un omeomorfismo lineare.

Ogni funzione che può essere lavorata con una trasformata di Fourier deve presentare null al di fuori di un parametro definito.

Proprietà

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La trasformata di Fourier soddisfa le seguenti proprietà:

Esistenza

Per verificare l'esistenza della trasformata di Fourier in una funzione f (t) definita nei reali R , devono essere soddisfatti i seguenti 2 assiomi:

1. f (t) è continuo a tratti per tutto R
2. f (t) è integrabile in R

Linearità della trasformazione di Fourier

Siano M (t) e N (t) due funzioni qualsiasi con trasformate di Fourier definite, con qualsiasi costante aeb.

F (z) = a F (z) + b F (z)

Il che è supportato anche dalla linearità dell'integrale omonimo.

Trasformata di Fourier di una derivata

Esiste una funzione f continua e integrabile in tutti i reali, dove:

E la derivata di f (f ') è continua e definita a tratti in tutta R

La trasformata di Fourier di una derivata è definita dall'integrazione per parti, dalla seguente espressione:

F (z) = iz F (z)

Nelle derivazioni di ordine superiore verrà applicato in maniera omologa, dove per tutti gli n 1 abbiamo:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

Differenziazione della trasformata di Fourier

Esiste una funzione f continua e integrabile in tutti i reali, dove:

Trasformata di Fourier di una traduzione

Per ogni θ che appartiene a un insieme S e T che appartiene all'insieme S ', abbiamo:

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

Con τ _{a che} opera come operatore di traduzione sul vettore a.

Traslazione della trasformata di Fourier

Per ogni θ che appartiene a un insieme S e T che appartiene all'insieme S ', abbiamo:

τ _a F = F τ _a F = F

Per tutti dei quali appartengono alla R

Trasformata di Fourier di un gruppo di scala

Per ogni θ che appartiene a un insieme S. T che appartiene all'insieme S '

λ appartenente a R - {0} abbiamo:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ )

F = (1 / -λ-) F (y / λ )

Se f è una funzione continua e chiaramente integrabile, dove a> 0. Allora:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

Per dimostrare questo risultato, possiamo procedere con il cambio di variabile.

Quando T → + allora s = a → + ∞

Quando T → - allora s = a → - ∞

Simmetria

Per studiare la simmetria della trasformata di Fourier, è necessario verificare l'identità di Parseval e la formula di Plancherel.

Abbiamo θ e δ che appartengono a S. Da qui si può dedurre che:

Ottenere

1 / (2π) ^d { F, F } Identità Parseval

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L ² _R ^d Formula di Plancherel

Trasformata di Fourier di un prodotto di convoluzione

Perseguendo obiettivi simili a quelli della trasformata di Laplace, la convoluzione delle funzioni si riferisce al prodotto tra le loro trasformate di Fourier.

Abbiamo f e g come 2 funzioni limitate, definite e completamente integrabili:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Continuità e caduta nell'infinito

A cosa serve la trasformata di Fourier?

Serve principalmente a semplificare in modo significativo le equazioni, trasformando le espressioni derivate in elementi di potenza, denotando espressioni differenziali sotto forma di polinomi integrabili.

Nell'ottimizzazione, modulazione e modellazione dei risultati, agisce come un'espressione standardizzata, essendo una risorsa frequente per l'ingegneria dopo diverse generazioni.

La serie di Fourier

Sono serie definite in termini di Coseni e Seni; Servono per facilitare il lavoro con funzioni periodiche generali. Quando vengono applicati, fanno parte delle tecniche per risolvere equazioni alle derivate ordinarie e parziali.

Le serie di Fourier sono anche più generali delle serie di Taylor, perché sviluppano funzioni discontinue periodiche che non hanno la rappresentazione della serie di Taylor.

Altre forme della serie di Fourier

Per comprendere analiticamente la trasformata di Fourier, è importante rivedere gli altri modi in cui la serie di Fourier può essere trovata, fino a quando non possiamo definire la serie di Fourier nella sua notazione complessa.

-Quattro serie in funzione del periodo 2L

Molte volte è necessario adattare la struttura di una serie di Fourier a funzioni periodiche il cui periodo è p = 2L> 0 nell'intervallo.

-Quattro serie in funzioni pari e dispari

Viene considerato l'intervallo, che offre vantaggi quando si sfruttano le caratteristiche simmetriche delle funzioni.

Se f è pari, la serie di Fourier è stabilita come una serie di Coseni.

Se f è dispari, la serie di Fourier è stabilita come una serie di Seni.

-Notazione complessa della serie di Fourier

Se abbiamo una funzione f (t), che soddisfa tutti i requisiti di sviluppabilità della serie di Fourier, è possibile denotarla nell'intervallo usando la sua notazione complessa:

applicazioni

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Calcolo della soluzione fondamentale

La trasformata di Fourier è un potente strumento nello studio delle equazioni alle derivate parziali di tipo lineare a coefficienti costanti. Si applicano ugualmente alle funzioni con domini illimitati.

Come la trasformata di Laplace, la trasformata di Fourier trasforma una funzione di derivata parziale in un'equazione differenziale ordinaria molto più semplice da operare.

Il problema di Cauchy per l'equazione del calore presenta un campo di frequente applicazione della trasformata di Fourier dove viene generato il nucleo del calore o la funzione del nucleo di Dirichlet.

Per quanto riguarda il calcolo della soluzione fondamentale, vengono presentati i seguenti casi in cui è comune trovare la trasformata di Fourier:

Teoria dei segnali

La ragione generale per l'applicazione della trasformata di Fourier in questo ramo è in gran parte dovuta alla decomposizione caratteristica di un segnale come una sovrapposizione infinita di segnali più facilmente trattabili.

Può essere un'onda sonora o un'onda elettromagnetica, la trasformata di Fourier la esprime in una sovrapposizione di onde semplici. Questa rappresentazione è abbastanza frequente nell'ingegneria elettrica.

D'altra parte, sono esempi di applicazione della trasformata di Fourier nel campo della teoria dei segnali:

Esempi

Esempio 1

Definisci la trasformata di Fourier per la seguente espressione:

Possiamo anche rappresentarlo nel modo seguente:

F (t) = Sen (t)

L'impulso rettangolare è definito:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

La trasformata di Fourier viene applicata alla seguente espressione che assomiglia al teorema di modulazione.

f (t) = p (t) Sen (t)

Dove: F = (1/2) i

E la trasformata di Fourier è definita da:

F = (1/2) i

Esempio 2

Definisci la trasformata di Fourier per l'espressione:

Poiché f (h) è una funzione pari, si può affermare che

L'integrazione per parti viene applicata selezionando le variabili e i loro differenziali come segue

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

dv = h (e ^-h ) ² v = (e ^-h ) ² /2

Sostituendo hai

Dopo aver valutato secondo il teorema fondamentale del calcolo

Applicando la conoscenza precedente relativa alle equazioni differenziali del primo ordine, l'espressione è indicata come

Per ottenere K valutiamo

Infine, la trasformata di Fourier dell'espressione è definita come

Esercizi proposti

• 

• 

• Ottieni la trasformazione dell'espressione W / (1 + w ² )

Riferimenti

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., analisi di Fourier. Addison– Wesley Iberoamericana, Università Autonoma di Madrid, 1995.
2. Lions, JL, Analisi matematica e metodi numerici per la scienza e la tecnologia. Springer-Verlag, 1990.
3. I kernel di Lieb, EH e gaussiani hanno solo massimizzatori gaussiani. Inventare. Matematica. 102 , 179-208, 1990.
4. Dym, H., McKean, HP, Fourier Series e Integrals. Academic Press, New York, 1972.
5. Schwartz, L., Théorie des Distributions. Ed. Hermann, Parigi, 1966.