TEOREMA DI VARIGNON: ESEMPI ED ESERCIZI RISOLTI - MATEMATICA - 2026

Il teorema di Varignon afferma che se un quadrilatero è collegato continuamente ai punti medi dei lati, viene generato un parallelogramma. Questo teorema fu formulato da Pierre Varignon e pubblicato nel 1731 nel libro Elements of Matematica ”.

La pubblicazione del libro è avvenuta anni dopo la sua morte. Poiché è stato Varignon a introdurre questo teorema, il parallelogramma prende il nome da lui. Il teorema si basa sulla geometria euclidea e presenta le relazioni geometriche dei quadrilateri.

Qual è il teorema di Varignon?

Varignon ha affermato che una figura che è definita dai punti medi di un quadrilatero risulterà sempre in un parallelogramma, e l'area del parallelogramma sarà sempre la metà dell'area del quadrilatero se è piatta e convessa. Per esempio:

Nella figura si può vedere un quadrilatero con un'area X, dove i punti medi dei lati sono rappresentati da E, F, G e H e, una volta uniti, formano un parallelogramma. L'area del quadrilatero sarà la somma delle aree dei triangoli che si formano, e metà di questo corrisponde all'area del parallelogramma.

Poiché l'area del parallelogramma è la metà dell'area del quadrilatero, è possibile determinare il perimetro di quel parallelogramma.

Quindi, il perimetro è uguale alla somma delle lunghezze delle diagonali del quadrilatero; questo perché le mediane del quadrilatero saranno le diagonali del parallelogramma.

Se invece le lunghezze delle diagonali del quadrilatero sono esattamente le stesse, il parallelogramma sarà un rombo. Per esempio:

Dalla figura si vede che, unendo i punti medi dei lati del quadrilatero, si ottiene un rombo. D'altra parte, se le diagonali del quadrilatero sono perpendicolari, il parallelogramma sarà un rettangolo.

Anche il parallelogramma sarà un quadrato quando il quadrilatero ha le diagonali della stessa lunghezza e sono anche perpendicolari.

Il teorema non è solo soddisfatto nei quadrilateri piani, ma è anche implementato nella geometria spaziale o nelle grandi dimensioni; cioè in quei quadrilateri che non sono convessi. Un esempio di questo può essere un ottaedro, dove i punti medi sono i centroidi di ciascuna faccia e formano un parallelepipedo.

In questo modo, unendo i punti medi di diverse figure, si possono ottenere parallelogrammi. Un modo semplice per verificare se questo è veramente vero è che i lati opposti devono essere paralleli quando estesi.

Esempi

Primo esempio

Estensione di lati opposti per mostrare che si tratta di un parallelogramma:

Secondo esempio

Unendo i punti medi di un rombo si ottiene un rettangolo:

Il teorema viene utilizzato nell'unione di punti situati nel mezzo dei lati di un quadrilatero e può essere utilizzato anche per altri tipi di punti, come una trisezione, una penta sezione o anche un numero infinito di sezioni ( nth), in modo da dividere i lati di qualsiasi quadrilatero in segmenti proporzionali.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Nella figura abbiamo un quadrilatero ABCD dell'area Z, dove i punti medi dei lati di questo sono PQSR. Verificare che si formi un parallelogramma Varignon.

Soluzione

Si può vedere che l'unione dei punti PQSR forma un parallelogramma Varignon, proprio perché i punti medi di un quadrilatero sono dati nell'enunciato.

Per dimostrarlo, prima vengono uniti i punti medi PQSR, quindi si può vedere che si forma un altro quadrilatero. Per mostrare che si tratta di un parallelogramma, devi solo disegnare una linea retta dal punto C al punto A, in modo che si possa vedere che CA è parallela a PQ e RS.

Allo stesso modo, estendendo i lati PQRS si può notare che PQ e RS sono paralleli, come mostrato nell'immagine seguente:

Esercizio 2

Abbiamo un rettangolo tale che le lunghezze di tutti i suoi lati siano uguali. Unendo i punti medi di questi lati si forma un rombo ABCD, che viene diviso da due diagonali AC = 7cm e BD = 10cm, che coincidono con le misure dei lati del rettangolo. Determina le aree del rombo e del rettangolo.

Soluzione

Ricordando che l'area del parallelogramma risultante è la metà del quadrilatero, l'area di questi si può determinare sapendo che la misura delle diagonali coincide con i lati del rettangolo. Quindi devi:

AB = D

CD = d

Un _rettangolo = (AB _* CD) = (10 cm _* 7 cm) = 70 cm ²

Un _rombo = Un _rettangolo / 2

Un _rombo = 70 cm ² /2 = 35 centimetri ²

Esercizio 3

Nella figura è presente un quadrilatero che ha l'unione dei punti EFGH, sono riportate le lunghezze dei segmenti. Determina se l'unione di EFGH è un parallelogramma.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

HR = 3,94 HA = 2,77

Soluzione

Dato che vengono fornite le lunghezze dei segmenti, si può verificare se c'è proporzionalità tra i segmenti; cioè puoi sapere se sono paralleli, mettendo in relazione i segmenti del quadrilatero come segue:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Quindi viene controllata la proporzionalità, poiché:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Allo stesso modo, quando si traccia una linea dal punto B al punto D, si può vedere che EH è parallelo a BD, proprio come BD è parallelo a FG. D'altra parte, EF è parallelo a GH.

Quindi si può determinare che EFGH è un parallelogramma, perché i lati opposti sono paralleli.

Riferimenti

1. Andres, T. (2010). Mathematical Olympiad Tresure. Springer. New York.
2. Barbosa, JL (2006). Geometria euclidea piana. SBM. Rio de Janeiro.
3. Howar, E. (1969). Studio delle geometrie. Messico: ispanico - americano.
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6. Villiers, M. (1996). Alcune avventure nella geometria euclidea. Sud Africa.