TEOREMA DEI RACCONTI DI MILETO: PRIMO, SECONDO ED ESEMPI - MATEMATICA - 2026

Il primo e il secondo teorema di Talete di Mileto si basano sulla determinazione dei triangoli da quelli simili (primo teorema) o da cerchi (secondo teorema). Sono stati molto utili in vari settori. Ad esempio, il primo teorema era molto utile per misurare grandi strutture quando non c'erano strumenti di misura sofisticati.

Talete di Mileto era un matematico greco che fornì grandi contributi alla geometria, di cui spiccano questi due teoremi (in alcuni testi è anche scritto come Talete) e le loro utili applicazioni. Questi risultati sono stati utilizzati nel corso della storia e hanno permesso di risolvere un'ampia varietà di problemi geometrici.

Talete di Mileto

Primo teorema di Talete

Il primo teorema di Talete è uno strumento utilissimo che, tra l'altro, permette la costruzione di un triangolo simile ad un altro, precedentemente noto. Da qui derivano varie versioni del teorema che possono essere applicate in più contesti.

Prima di fare la tua affermazione, ricordiamo alcune nozioni di somiglianza dei triangoli. Essenzialmente, due triangoli sono simili se i loro angoli sono congruenti (hanno la stessa misura). Ciò si traduce nel fatto che se due triangoli sono simili, i loro lati corrispondenti (o omologhi) sono proporzionali.

Il primo teorema di Talete afferma che se una linea viene tracciata parallelamente a uno qualsiasi dei suoi lati in un dato triangolo, il nuovo triangolo ottenuto sarà simile al triangolo iniziale.

Si ottiene anche una relazione tra gli angoli che si formano, come mostrato nella figura seguente.

Applicazione

Tra le sue numerose applicazioni, una di particolare interesse spicca e ha a che fare con uno dei modi in cui sono state effettuate misurazioni di grandi strutture nell'antichità, un'epoca in cui viveva Talete e in cui non esistevano dispositivi di misurazione moderni che esistono adesso.

Si dice che sia così che Talete sia riuscito a misurare la piramide più alta dell'Egitto, Cheope. Per questo, Talete suppose che i riflessi dei raggi solari toccassero il suolo formando linee parallele. Sotto questa ipotesi, ha inchiodato un bastone o un bastone verticalmente nel terreno.

Ha quindi utilizzato la somiglianza dei due triangoli risultanti, uno formato dalla lunghezza dell'ombra della piramide (che può essere facilmente calcolata) e l'altezza della piramide (l'ignoto), e l'altro formato dalle lunghezze dell'ombra e l'altezza dell'asta (che può anche essere facilmente calcolata).

Utilizzando la proporzionalità tra queste lunghezze, l'altezza della piramide può essere risolta e conosciuta.

Sebbene questo metodo di misura possa dare un errore di approssimazione significativo rispetto alla precisione dell'altezza e dipenda dal parallelismo dei raggi solari (che a sua volta dipende da un tempo preciso), bisogna riconoscere che è un'idea molto geniale e che ha fornito una buona alternativa di misurazione per il tempo.

Esempi

Trova il valore di x in ogni caso:

Secondo teorema di Talete

Il secondo teorema di Talete determina un triangolo rettangolo inscritto in un cerchio in ogni punto dello stesso.

Un triangolo inscritto su una circonferenza è un triangolo i cui vertici sono sulla circonferenza, rimanendo così contenuto in essa.

Nello specifico, il secondo teorema di Talete afferma quanto segue: dato un cerchio con centro O e diametro AC, ogni punto B sulla circonferenza (diverso da A e C) determina un triangolo rettangolo ABC, con angolo retto

A titolo di giustificazione, notiamo che sia OA che OB e OC corrispondono al raggio della circonferenza; pertanto, le loro misurazioni sono le stesse. Da ciò ne consegue che i triangoli OAB e OCB sono isosceli, dove

È noto che la somma degli angoli di un triangolo è uguale a 180º. Usando questo con il triangolo ABC abbiamo:

2b + 2a = 180º.

In modo equivalente, abbiamo che b + a = 90º eb + a =

Si noti che il triangolo rettangolo fornito dal secondo teorema di Talete è proprio quello la cui ipotenusa è uguale al diametro della circonferenza. Pertanto, è completamente determinato dal semicerchio che contiene i punti del triangolo; in questo caso, il semicerchio superiore.

Osserviamo anche che nel triangolo rettangolo ottenuto mediante il secondo teorema di Talete, l'ipotenusa è divisa in due parti uguali da OA e OC (il raggio). A sua volta, questa misura è uguale al segmento OB (anche il raggio), che corrisponde alla mediana del triangolo ABC di B.

In altre parole, la lunghezza della mediana del triangolo rettangolo ABC corrispondente al vertice B è completamente determinata dalla metà dell'ipotenusa. Ricorda che la mediana di un triangolo è il segmento da uno dei vertici al punto medio del lato opposto; in questo caso, il segmento BO.

Circonferenza circoscritta

Un altro modo di guardare al secondo teorema di Talete è attraverso una circonferenza circoscritta a un triangolo rettangolo.

In generale, una circonferenza circoscritta a un poligono è costituita dalla circonferenza che passa per ciascuno dei suoi vertici, ogniqualvolta sia possibile disegnarla.

Utilizzando il secondo teorema di Talete, dato un triangolo rettangolo, possiamo sempre costruire una circonferenza ad esso circoscritta, con un raggio pari alla metà dell'ipotenusa e un circumcentro (il centro della circonferenza) uguale al punto medio dell'ipotenusa.

Applicazione

Un'applicazione molto importante del secondo teorema di Talete, e forse il più utilizzato, è trovare le linee tangenti a un dato cerchio, attraverso un punto P esterno ad esso (noto).

Si noti che dato un cerchio (disegnato in blu nella figura sotto) e un punto esterno P, ci sono due linee tangenti al cerchio che passano per P. Siano T e T 'i punti di tangenza, r il raggio del cerchio, e O il centro.

È noto che il segmento che va dal centro di un cerchio ad un punto di tangenza dello stesso, è perpendicolare a questa retta tangente. Quindi l'angolo OTP è giusto.

Da quello che abbiamo visto prima nel primo teorema di Talete e nelle sue diverse versioni, vediamo che è possibile inscrivere il triangolo OTP in un altro cerchio (in rosso).

Allo stesso modo, si ottiene che il triangolo OT'P può essere inscritto all'interno della stessa circonferenza precedente.

Dal secondo teorema di Talete otteniamo anche che il diametro di questa nuova circonferenza è precisamente l'ipotenusa del triangolo OTP (che è uguale all'ipotenusa del triangolo OT'P), e il centro è il punto medio di questa ipotenusa.

Per calcolare il centro della nuova circonferenza, allora è sufficiente calcolare il punto medio tra il centro - diciamo M - della circonferenza iniziale (che già conosciamo) e il punto P (che anche noi conosciamo). Quindi il raggio sarà la distanza tra questo punto M e P.

Con il raggio e il centro del cerchio rosso possiamo trovare la sua equazione cartesiana, che ricordiamo è data da (xh) ² + (yk) ² = c ² , dove c è il raggio e il punto (h, k) è il centro della circonferenza.

Conoscendo ora le equazioni di entrambi i cerchi, possiamo intersecarle risolvendo il sistema di equazioni da esse formato, e ottenendo così i punti di tangenza T e T '. Infine, per conoscere le tangenti desiderate, è sufficiente trovare l'equazione delle rette che passano per T e P, e per T 'e P.

Esempio

Considera una circonferenza di diametro AC, centro O e raggio 1 cm. Sia B un punto sulla circonferenza tale che AB = AC. Quanto è alto AB?

Soluzione

Dal secondo teorema di Talete abbiamo che il triangolo ABC è retto e l'ipotenusa corrisponde al diametro, che in questo caso misura 2 cm (il raggio è 1 cm). Quindi, per il teorema di Pitagora abbiamo:

Riferimenti

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