TEOREMA DI STEINER: SPIEGAZIONE, APPLICAZIONI, ESERCIZI - FISICO - 2026

Il teorema di Steiner , noto anche come teorema dell'asse parallelo, per valutare il momento di inerzia di un corpo esteso, attorno ad un asse parallelo ad un altro passante per il centro di massa dell'oggetto.

Fu scoperto dal matematico svizzero Jakob Steiner (1796–1863) e afferma quanto segue: Sia I _CM il momento di inerzia dell'oggetto rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa CM e I _z il momento di inerzia rispetto ad un altro asse parallelamente a questo.

Figura 1. Una porta rettangolare che ruota sui cardini ha un momento di inerzia che può essere calcolato applicando il teorema di Steiner. Fonte: Pixabay.

Conoscendo la distanza D che separa entrambi gli assi e la massa M del corpo in questione, il momento di inerzia rispetto all'asse ignoto è:

Il momento di inerzia indica quanto è facile per un oggetto ruotare attorno a un certo asse. Dipende non solo dalla massa del corpo, ma da come è distribuito. Per questo motivo è noto anche come inerzia rotazionale, essendo le sue unità nel Sistema Internazionale Kg. m ² .

Il teorema mostra che il momento di inerzia I _z è sempre maggiore del momento di inerzia I _CM di una quantità data da MD ² .

applicazioni

Poiché un oggetto è in grado di ruotare attorno a numerosi assi, e nelle tabelle solitamente è dato solo il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il baricentro, il teorema di Steiner ne facilita il calcolo quando è necessario ruotare corpi sugli assi che non corrispondono a questo.

Ad esempio, una porta comunemente non ruota attorno ad un asse passante per il suo centro di massa, ma attorno ad un asse laterale, dove aderiscono i cardini.

Conoscendo il momento d'inerzia è possibile calcolare l'energia cinetica associata alla rotazione attorno a detto asse. Se K è l'energia cinetica, I il momento d'inerzia attorno all'asse in questione e ω la velocità angolare, ne consegue che:

Questa equazione è molto simile alla formula molto familiare per l'energia cinetica per un oggetto di massa M che si muove alla velocità v: K = ½ Mv ² . Ed è che il momento di inerzia o inerzia rotazionale I gioca nella rotazione lo stesso ruolo della massa M nella traslazione.

Dimostrazione del teorema di Steiner

Il momento di inerzia di un oggetto esteso è definito come:

Io = ∫ r ² dm

Dove dm è una porzione infinitesimale di massa er è la distanza tra dm e l'asse di rotazione z. Nella figura 2 questo asse attraversa il centro di massa CM, tuttavia può essere qualsiasi.

Figura 2. Un oggetto esteso in rotazione attorno a due assi paralleli. Fonte: F. Zapata.

Attorno a un altro asse z, il momento di inerzia è:

Io _z = ∫ (r ') ² dm

Ora, secondo il triangolo formato dai vettori D , r e r ' (vedi figura 2 a destra), c'è una somma vettoriale:

r + r ' = D → r' = D - r

I tre vettori giacciono sul piano dell'oggetto, che può essere xy. L'origine del sistema di coordinate (0,0) viene scelta in CM per facilitare i calcoli che seguono.

In questo modo il modulo quadrato del vettore r ' è:

Ora questo sviluppo è sostituito nell'integrale del momento d'inerzia I _z e si usa anche la definizione di densità dm = ρ.dV:

Il termine M. D ² che compare nel teorema di Steiner deriva dal primo integrale, il secondo è il momento d'inerzia rispetto all'asse passante per CM.

Da parte loro, il terzo e il quarto integrale valgono 0, poiché costituiscono per definizione la posizione del CM, che è stato scelto come origine del sistema di coordinate (0,0).

Esercizi risolti

-Esercizio risolto 1

La porta rettangolare della Figura 1 ha una massa di 23 kg, larga 1,30 e alta 2,10 m. Determinare il momento di inerzia della porta rispetto all'asse passante per le cerniere, assumendo che la porta sia sottile e uniforme.

Figura 3. Schema per l'esempio funzionato 1. Fonte: modificata da Pixabay.

Soluzione

Da una tabella dei momenti di inerzia, per una piastra rettangolare di massa M e dimensioni aeb, il momento di inerzia rispetto all'asse che passa per il suo centro di massa è: I _CM = (1/12) M (a ² + b ² ).

Si supporrà una porta omogenea (un'approssimazione, poiché la porta nella figura probabilmente non lo è). In tal caso, il centro di massa passa per il suo centro geometrico. Nella figura 3 è stato disegnato un asse che passa per il centro di massa ed è anche parallelo all'asse che passa per le cerniere.

I _CM = (1/12) x 23 Kg x (1,30 ² +2,10 ² ) m ² = 11,7 Kg.m ²

Applicando il teorema di Steiner per l'asse di rotazione verde:

I = I _CM + MD ² = 11,7 Kg.m ² + 23 Kg x 0,652 m ² = 21,4 Kg.

-Esercizio risolto 2

Trova il momento di inerzia di una barra sottile omogenea quando ruota attorno a un asse che passa per una delle sue estremità, vedi figura. È maggiore o minore del momento di inerzia quando ruota attorno al suo centro? Perché?

Figura 4. Schema per l'esempio risolto 2. Fonte: F. Zapata.

Soluzione

Secondo la tabella dei momenti di inerzia, il momento di inerzia I _CM di una barra sottile di massa M e lunghezza L è: I _CM = (1/12) ML ²

E il teorema di Steiner afferma che quando viene ruotato attorno a un asse che passa per un'estremità D = L / 2 rimane:

È maggiore, sebbene non semplicemente due volte, ma 4 volte di più, poiché l'altra metà dell'asta (non ombreggiata in figura) ruota descrivendo un raggio maggiore.

L'influenza della distanza dall'asse di rotazione non è lineare, ma quadratica. Una massa che è il doppio della distanza di un'altra avrà un momento di inerzia proporzionale a (2D) ² = 4D ² .

Riferimenti

1. Bauer, W. 2011. Fisica per l'ingegneria e le scienze. Volume 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Georgia State University. Moto rotatorio. Estratto da: phys.nthu.edu.tw.
3. Teorema dell'asse parallelo. Estratto da: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Fondamenti di fisica. Pearson. 190-200.
5. Wikipedia. Teorema dell'asse parallelo. Estratto da: en.wikipedia.org