TEOREMA DI ESISTENZA E UNICITÀ: DIMOSTRAZIONE, ESEMPI ED ESERCIZI - MATEMATICA - 2026

Il teorema di esistenza e unicità stabilisce le condizioni necessarie e sufficienti perché un'equazione differenziale del primo ordine, con una data condizione iniziale, abbia una soluzione e che quella soluzione sia l'unica.

Tuttavia, il teorema non fornisce alcuna tecnica o indicazione su come trovare una tale soluzione. Il teorema di esistenza e unicità è esteso anche alle equazioni differenziali di ordine superiore con condizioni iniziali, noto come problema di Cauchy.

Figura 1. Viene mostrata un'equazione differenziale con la condizione iniziale e la sua soluzione. Il Teorema di Esistenza e Unicità garantisce che è l'unica soluzione possibile.

La dichiarazione formale del teorema di esistenza e unicità è la seguente:

"Per un'equazione differenziale y '(x) = f (x, y) con condizione iniziale y (a) = b, esiste almeno una soluzione in una regione rettangolare del piano XY che contiene il punto (a, b), se f (x, y) è continuo in quella regione. E se la derivata parziale di f rispetto a y: g = ∂f / ∂y è continua in quella stessa regione rettangolare, allora la soluzione è unica in un intorno del punto (a, b) contenuto nella regione di continuità di fy g. "

L'utilità di questo teorema risiede innanzitutto nel sapere quali sono le regioni del piano XY in cui può esistere una soluzione e anche nel sapere se la soluzione trovata è l'unica possibile o se ce ne sono altre.

Si noti che nel caso in cui la condizione di unicità non sia soddisfatta, il teorema non può prevedere quante soluzioni in totale ha il problema di Cauchy: forse è una, due o più.

Prova dell'esistenza e teorema di unicità

Figura 2. Charles Émile Picard (1856-1941) è accreditato con una delle prime dimostrazioni del Teorema di Esistenza e Unicità. Fonte: Wikimedia Commons.

Per questo teorema sono note due possibili dimostrazioni, una di queste è la dimostrazione di Charles Émile Picard (1856-1941) e l'altra è dovuta a Giuseppe Peano (1858-1932) basata sulle opere di Augustin Louis Cauchy (1789-1857) .

È interessante notare che le menti matematiche più brillanti del diciannovesimo secolo hanno partecipato alla dimostrazione di questo teorema, quindi si può intuire che nessuna delle due è semplice.

Per dimostrare formalmente il teorema, è necessario prima stabilire una serie di concetti matematici più avanzati, come funzioni di tipo Lipschitz, spazi di Banach, teorema di esistenza di Carathéodory e molti altri, che sono oltre lo scopo dell'articolo.

Gran parte delle equazioni differenziali che vengono trattate in fisica si occupano di funzioni continue nelle regioni di interesse, quindi ci limiteremo a mostrare come il teorema viene applicato in equazioni semplici.

Esempi

- Esempio 1

Consideriamo la seguente equazione differenziale con una condizione iniziale:

y '(x) = - y; con y (1) = 3

c'è una soluzione per questo problema? È l'unica soluzione possibile?

risposte

In primo luogo, viene valutata l'esistenza della soluzione dell'equazione differenziale e che soddisfa anche la condizione iniziale.

In questo esempio f (x, y) = - e la condizione di esistenza richiede di sapere se f (x, y) è continua in una regione del piano XY che contiene il punto di coordinate x = 1, y = 3.

Ma f (x, y) = - y è la funzione affine, che è continua nel dominio dei numeri reali ed esiste in tutta la gamma dei numeri reali.

Quindi si conclude che f (x, y) è continua in R ² , quindi il teorema garantisce l'esistenza di almeno una soluzione.

Sapendo questo, è necessario valutare se la soluzione è unica o se, al contrario, ce n'è più di una. Per questo è necessario calcolare la derivata parziale di f rispetto alla variabile y:

Allora g (x, y) = -1 che è una funzione costante, che è anche definita per tutti R ² ed è anche continua lì. Ne consegue che il teorema di esistenza e unicità garantisce che questo problema del valore iniziale abbia una soluzione unica, sebbene non ci dica di cosa si tratta.

- Esempio 2

Considera la seguente equazione differenziale ordinaria del primo ordine con condizione iniziale:

y '(x) = 2√y; e (0) = 0.

Esiste una soluzione y (x) a questo problema? In tal caso, determinare se ce n'è uno o più di uno.

rispondere

Consideriamo la funzione f (x, y) = 2√y. La funzione f è definita solo per y≥0, poiché sappiamo che un numero negativo manca di una radice reale. Inoltre f (x, y) è continuo nel semipiano superiore di R ² compreso l'asse X, quindi il teorema di esistenza e unicità garantisce almeno una soluzione in detta regione.

Ora la condizione iniziale x = 0, y = 0 è sul bordo della regione della soluzione. Quindi prendiamo la derivata parziale di f (x, y) rispetto a y:

∂f / ∂y = 1 / √y

In questo caso la funzione non è definita per y = 0, proprio dove si trova la condizione iniziale.

Cosa ci dice il teorema? Ci dice che sebbene sappiamo che c'è almeno una soluzione nel semipiano superiore dell'asse X incluso l'asse X, poiché la condizione di unicità non è soddisfatta, non vi è alcuna garanzia che ci sarà una soluzione unica.

Ciò significa che potrebbe esserci una o più soluzioni nella regione di continuità di f (x, y). E come sempre, il teorema non ci dice cosa potrebbero essere.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Risolvi il problema di Cauchy nell'esempio 1:

y '(x) = - y; con y (1) = 3.

Trova la funzione y (x) che soddisfa l'equazione differenziale e la condizione iniziale.

Soluzione

Nell'esempio 1 è stato determinato che questo problema ha una soluzione ed è anche unico. Per trovare la soluzione, la prima cosa da notare è che si tratta di un'equazione differenziale di primo grado di variabili separabili, che è scritta come segue:

Dividendo tra e in entrambi i membri per separare le variabili abbiamo:

L'integrale indefinito viene applicato in entrambi i membri:

Risolvendo gli integrali indefiniti abbiamo:

dove C è una costante di integrazione che è determinata dalla condizione iniziale:

Sostituendo il valore di C e riorganizzandolo rimane:

Applicazione della seguente proprietà dei logaritmi:

L'espressione sopra può essere riscritta in questo modo:

La funzione esponenziale con base e in entrambi i membri viene applicata per ottenere:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

Che è equivalente a:

y = 3e e ^-x

Questa è l'unica soluzione dell'equazione y '= -y con y (1) = 3. Il grafico di questa soluzione è mostrato nella Figura 1.

- Esercizio 2

Trova due soluzioni per il problema posto nell'esempio 2:

y '(x) = 2√ (y); e (0) = 0.

Soluzione

È anche un'equazione di variabili separabili, che, scritta in forma differenziale, si presenta così:

dy / √ (y) = 2 dx

Prendendo l'integrale indefinito in entrambi i membri rimane:

2 √ (y) = 2 x + C

Poiché sappiamo che y≥0 nella regione della soluzione abbiamo:

y = (x + C) ²

Ma poiché la condizione iniziale x = 0, y = 0 deve essere soddisfatta, la costante C è zero e rimane la seguente soluzione:

y (x) = x ² .

Ma questa soluzione non è unica, la funzione y (x) = 0 è anche una soluzione al problema posto. Il teorema di esistenza e unicità applicato a questo problema nell'Esempio 2 aveva già previsto che ci potesse essere più di una soluzione.

Riferimenti

1. Coddington, Earl A .; Levinson, Norman (1955), Teoria delle equazioni differenziali ordinarie, New York: McGraw-Hill.
2. Enciclopedia della matematica. Teorema di Cauchy-Lipschitz. Estratto da: enciclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approssimations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol.116, 1894, pagg. 454–457. Estratto da: gallica.bnf.fr.
4. Wikipedia. Il metodo delle approssimazioni successive di Picard. Estratto da: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Teorema di Picard-Lindelöf. Estratto da: es.wikipedia.com.
6. Zill, D. 1986. Equazioni differenziali elementari con applicazioni Prentice Hall.