Il teorema di Bernoulli , che descrive il comportamento di un fluido in movimento, è stato enunciato dal matematico e fisico Daniel Bernoulli nella sua opera Hydrodynamics. Secondo il principio, un fluido ideale (senza attrito o viscosità) che circola attraverso un condotto chiuso, avrà un'energia costante nel suo percorso.
Il teorema può essere dedotto dal principio di conservazione dell'energia e anche dalla seconda legge del moto di Newton. Inoltre, il principio di Bernoulli stabilisce anche che un aumento della velocità di un fluido implica una diminuzione della pressione a cui è sottoposto, una diminuzione della sua energia potenziale, o entrambe contemporaneamente.
Daniel Bernoulli
Il teorema ha molte applicazioni diverse, sia nel mondo della scienza che nella vita quotidiana delle persone.
Le sue conseguenze sono presenti nella forza di portanza degli aerei, nei camini delle case e delle industrie, nelle condutture dell'acqua, tra le altre aree.
L'equazione di Bernoulli
Sebbene Bernoulli sia stato colui che ha dedotto che la pressione diminuisce all'aumentare della portata, la verità è che è stato Leonhard Euler a sviluppare effettivamente l'equazione di Bernoulli nella forma in cui è conosciuta oggi.
In ogni caso l'equazione di Bernoulli, che altro non è che l'espressione matematica del suo teorema, è la seguente:
v 2 ∙ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = costante
In questa espressione, v è la velocità del fluido attraverso la sezione considerata, ƿ è la densità del fluido, P è la pressione del fluido, g è il valore dell'accelerazione di gravità e z è l'altezza misurata nella direzione di gravità.
È implicito nell'equazione di Bernoulli che l'energia di un fluido sia costituita da tre componenti:
- Una componente cinetica, che è quella che risulta dalla velocità con cui si muove il fluido.
- Una componente potenziale o gravitazionale, che è dovuta all'altezza alla quale si trova il fluido.
- Un'energia di pressione, che è quella che il fluido possiede in conseguenza della pressione a cui è sottoposto.
D'altra parte, l'equazione di Bernoulli può anche essere espressa in questo modo:
v 1 2 ∙ ƿ / 2 + P 1 + ƿ ∙ g ∙ z 1 = v 2 2 ∙ ƿ / 2 + P 2 + ƿ ∙ g ∙ z 2
Quest'ultima espressione è molto pratica per analizzare i cambiamenti che un fluido subisce quando cambia uno qualsiasi degli elementi che compongono l'equazione.
Forma semplificata
In alcune occasioni la variazione del termine ρgz dell'equazione di Bernoulli è minima rispetto a quella sperimentata dagli altri termini, quindi può essere trascurata. Ad esempio, questo accade nelle correnti sperimentate da un aereo in volo.
In queste occasioni, l'equazione di Bernoulli è espressa come segue:
P + q = P 0
In questa espressione q è la pressione dinamica ed è equivalente a v 2 ∙ ƿ / 2, e P 0 è quella che viene chiamata pressione totale ed è la somma della pressione statica P e della pressione dinamica q.
applicazioni
Il teorema di Bernoulli ha molte e diverse applicazioni in campi diversi come la scienza, l'ingegneria, lo sport, ecc.
Un'applicazione interessante si trova nella progettazione di camini. I camini sono costruiti alti in modo da ottenere una maggiore differenza di pressione tra la base e l'uscita del camino, grazie alla quale è più facile estrarre i gas di combustione.
Ovviamente l'equazione di Bernoulli si applica anche allo studio del movimento dei flussi di liquidi nei tubi. Dall'equazione risulta che una riduzione dell'area della sezione trasversale del tubo, per aumentare la velocità del fluido che lo attraversa, implica anche una diminuzione della pressione.
L'equazione di Bernoulli è utilizzata anche nell'aviazione e nei veicoli di Formula 1. Nel caso dell'aviazione, l'effetto Bernoulli è l'origine del sollevamento degli aeroplani.
Le ali degli aerei sono progettate con l'obiettivo di ottenere un maggiore flusso d'aria nella parte superiore dell'ala.
Pertanto, nella parte superiore dell'ala, la velocità dell'aria è elevata e, quindi, la pressione è inferiore. Questa differenza di pressione produce una forza verso l'alto verticalmente (forza di portanza) che consente al velivolo di rimanere in aria. Un effetto simile si ottiene sugli alettoni delle vetture di Formula 1.
Esercizio risolto
Un flusso d'acqua scorre a 5,18 m / s attraverso un tubo con una sezione trasversale di 4,2 cm 2 . L'acqua scende da un'altezza di 9,66 m ad un livello inferiore con un'altezza di quota zero, mentre l'area della sezione trasversale del tubo aumenta a 7,6 cm 2 .
a) Calcolare la velocità della corrente dell'acqua al livello inferiore.
b) Determinare la pressione al livello inferiore sapendo che la pressione al livello superiore è 152000 Pa.
Soluzione
a) Dato che il flusso deve essere conservato, è vero che:
Q livello superiore = Q livello inferiore
v 1 . S 1 = v 2 . S 2
5,18 m / s. 4,2 cm 2 = v 2 . 7,6 cm ^ 2
Risolvendo per, si ottiene che:
v 2 = 2,86 m / s
b) Applicando il teorema di Bernoulli tra i due livelli, e tenendo conto che la densità dell'acqua è di 1000 kg / m 3 , si ottiene che:
v 1 2 ∙ ƿ / 2 + P 1 + ƿ ∙ g ∙ z 1 = v 2 2 ∙ ƿ / 2 + P 2 + ƿ ∙ g ∙ z 2
(1/2). 1000 kg / m 3 . (5,18 m / s) 2 + 152000 + 1000 kg / m 3 . 10 m / s 2 . 9,66 m =
= (1/2). 1000 kg / m 3 . (2,86 m / s) 2 + P 2 + 1000 kg / m 3 . 10 m / s 2 . 0 m
Risolvendo per P 2 otteniamo:
P 2 = 257926,4 Pa
Riferimenti
- Principio di Bernoulli. (Nd). Su Wikipedia. Estratto il 12 maggio 2018 da es.wikipedia.org.
- Principio di Bernoulli. (Nd). In Wikipedia. Estratto il 12 maggio 2018 da en.wikipedia.org.
- Batchelor, GK (1967). Un'introduzione alla fluidodinamica. Cambridge University Press.
- Lamb, H. (1993). Idrodinamica (6a ed.). Cambridge University Press.
- Mott, Robert (1996). Meccanica dei fluidi applicata (4a ed.). Messico: Pearson Education.