Il Teorema di Bayes è una procedura che ci permette di esprimere la probabilità condizionata di un evento casuale A dato B, in termini di distribuzione di probabilità dell'evento A e B poiché la distribuzione di probabilità di solo A.
Questo teorema è molto utile, poiché grazie ad esso possiamo mettere in relazione la probabilità che si verifichi un evento A sapendo che B si è verificato, con la probabilità che si verifichi il contrario, cioè che B si verifichi dato A.
Il teorema di Bayes era una proposizione d'argento del reverendo Thomas Bayes, un teologo inglese del XVIII secolo che era anche un matematico. Fu autore di numerose opere di teologia, ma attualmente è noto per un paio di trattati matematici, tra i quali spicca come principale risultato il già citato Teorema di Bayes.
Bayes ha affrontato questo teorema in un articolo intitolato "Un saggio verso la risoluzione di un problema nella dottrina delle possibilità", pubblicato nel 1763 e sul quale sono stati sviluppati molti numeri. studi con applicazioni in varie aree del sapere.
Spiegazione
Innanzitutto, per una migliore comprensione di questo teorema, sono necessarie alcune nozioni di base della teoria della probabilità, in particolare il teorema della moltiplicazione per la probabilità condizionata, che afferma che
Per eventi E e A arbitrari di uno spazio campionario S.
E la definizione di partizioni, che ci dice che se abbiamo A 1 , A 2 , …, A n eventi di uno spazio campionario S, formeranno una partizione di S, se gli AI si escludono a vicenda e la loro unione è S.
Detto questo, sia B un altro evento. Quindi possiamo vedere B come
Dove A i intersecato con B sono eventi che si escludono a vicenda.
E di conseguenza,
Quindi, applicando il teorema della moltiplicazione
D'altra parte, la probabilità condizionata di Ai dato B è definita da
Sostituendo in modo appropriato abbiamo quello per qualsiasi i
Applicazioni del teorema di Bayes
Grazie a questo risultato, gruppi di ricerca e varie società sono riusciti a migliorare i sistemi che si basano sulla conoscenza.
Ad esempio, nello studio delle malattie, il teorema di Bayes può aiutare a discernere la probabilità che una malattia si trovi in un gruppo di persone con una data caratteristica, prendendo come dati i tassi globali della malattia e la predominanza di dette caratteristiche in sia persone sane che malate.
D'altra parte, nel mondo delle alte tecnologie, ha influenzato le grandi aziende che hanno sviluppato, grazie a questo risultato, software “Knowledge-Based”.
Come esempio quotidiano abbiamo l'assistente di Microsoft Office. Il teorema di Bayes aiuta il software a valutare i problemi che l'utente presenta e determinare quale consiglio dargli e quindi essere in grado di offrire un servizio migliore in base alle abitudini dell'utente.
In particolare, questa formula è stata ignorata fino a tempi recenti, principalmente perché quando questo risultato è stato sviluppato 200 anni fa, c'era poco uso pratico per loro. Tuttavia, ai nostri giorni, grazie a grandi progressi tecnologici, gli scienziati hanno trovato il modo per mettere in pratica questo risultato.
Esercizi risolti
Esercizio 1
Una compagnia di telefoni cellulari ha due macchine A e B. Il 54% dei telefoni cellulari prodotti sono fabbricati dalla macchina A e il resto dalla macchina B. Non tutti i telefoni cellulari prodotti sono in buone condizioni.
La proporzione di telefoni cellulari difettosi prodotti da A è 0,2 e da B è 0,5. Qual è la probabilità che un telefono cellulare di quella fabbrica sia difettoso? Qual è la probabilità che, sapendo che un telefono cellulare è difettoso, provenga dalla macchina A?
Soluzione
Qui, hai un esperimento che viene fatto in due parti; nella prima parte si verificano gli eventi:
A: cella realizzata dalla macchina A.
B: cella realizzata dalla macchina B.
Poiché la macchina A produce il 54% dei telefoni cellulari e il resto è prodotto dalla macchina B, ne consegue che la macchina B produce il 46% dei telefoni cellulari. Vengono fornite le probabilità di questi eventi, ovvero:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Gli eventi della seconda parte dell'esperimento sono:
D: cellulare difettoso.
E: cellulare non difettoso.
Come affermato nella dichiarazione, le probabilità di questi eventi dipendono dal risultato ottenuto nella prima parte:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
Utilizzando questi valori si possono determinare anche le probabilità dei complementi di questi eventi, ovvero:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0,8
e
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Ora l'evento D può essere scritto come segue:
Utilizzo del teorema di moltiplicazione per i risultati di probabilità condizionata:
Dopo di che si risponde alla prima domanda.
Ora dobbiamo solo calcolare P (AD), per il quale viene applicato il teorema di Bayes:
Grazie al teorema di Bayes, si può affermare che la probabilità che un telefono cellulare sia stato prodotto dalla macchina A, sapendo che il cellulare è difettoso, è 0,319.
Esercizio 2
Tre scatole contengono palline bianche e nere. La composizione di ciascuno di essi è la seguente: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
Una delle caselle viene scelta a caso e viene estratta una palla che risulta essere bianca. Qual è la scatola che più probabilmente è stata scelta?
Soluzione
Utilizzando U1, U2 e U3, rappresenteremo anche la casella scelta.
Questi eventi costituiscono una partizione di S e si verifica che P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 poiché la scelta della scatola è casuale.
Se B = {la palla estratta è bianca}, avremo P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
Quello che vogliamo ottenere è la probabilità che la palla sia stata tolta dalla scatola Ui sapendo che detta palla era bianca, cioè P (Ui -B), e vedere quale dei tre valori era il più alto per sapere di quale molto probabilmente è stata l'estrazione della bilia battente.
Applicando il teorema di Bayes al primo dei riquadri:
E per gli altri due:
P (U2-B) = 2/6 e P (U3-B) = 1/6.
Quindi, la prima delle caselle è quella con la maggiore probabilità di essere stata scelta per l'estrazione della bilia battente.
Riferimenti
- Kai Lai Chung. Teoria elementare della proabilità con processi stocastici. Springer-Verlag New York Inc
- Kenneth.H. Rosen Matematica discreta e sue applicazioni. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Paul L. Meyer. Probabilità e applicazioni statistiche. SA ALHAMBRA MESSICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Problemi risolti di matematica discreta. McGRAW-HILL.
- Seymour Lipschutz Ph.D. Teoria e problemi di probabilità. McGRAW-HILL.