TEORIA DEGLI INSIEMI: CARATTERISTICHE, ELEMENTI, ESEMPI, ESERCIZI - MATEMATICA - 2024

La teoria degli insiemi è una branca della logica matematica, responsabile dello studio delle relazioni tra entità chiamate insiemi. I set si caratterizzano per essere collezioni di oggetti della stessa natura. Detti oggetti sono gli elementi dell'insieme e possono essere: numeri, lettere, figure geometriche, parole che rappresentano oggetti, gli oggetti stessi e altri.

Fu Georg Cantor, verso la fine del XIX secolo, a proporre la teoria degli insiemi. Mentre altri importanti matematici nel 20 ° secolo hanno fatto la loro formalizzazione: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel tra gli altri.

Figura 1. Diagramma di Venn degli insiemi A, B e loro intersezione A⋂ B. (Elaborazione propria).

I diagrammi di Venn sono il modo grafico per rappresentare un insieme e sono costituiti da una figura piana chiusa all'interno della quale si trovano gli elementi dell'insieme.

Ad esempio, nella Figura 1 sono mostrati due insiemi A e B, che hanno elementi in comune, gli elementi comuni ad A e B. Questi formano un nuovo insieme chiamato insieme di intersezione di A e B, che è scritto nella forma simbolico come segue:

A ∩ B

caratteristiche

L'insieme è un concetto primitivo come lo è in geometria il concetto di punto, linea o piano. Non c'è modo migliore per esprimere il concetto che indicando esempi:

Set E formato dai colori della bandiera della Spagna. Questo modo di esprimere l'insieme è chiamato dalla comprensione. Lo stesso insieme E scritto per estensione è:

E = {rosso, giallo}

In questo caso, rosso e giallo sono elementi dell'insieme E. Si noti che gli elementi sono elencati tra parentesi graffe e non vengono ripetuti. Nel caso della bandiera spagnola ci sono tre strisce colorate (rossa, gialla, rossa), due delle quali si ripetono, ma gli elementi non si ripetono quando il tutto è espresso.

Supponiamo l'insieme V formato dalle prime tre lettere vocaliche:

V = {a, e, i}

L'insieme di potenze di V, indicato con P (V), è l'insieme di tutti gli insiemi che possono essere formati con gli elementi di V:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

Tipi di set

Insieme finito

È un insieme in cui i suoi elementi sono numerabili. Esempi di insiemi finiti sono le lettere dell'alfabeto spagnolo, le vocali dello spagnolo, i pianeti del sistema solare, tra gli altri. Il numero di elementi in un insieme finito è chiamato cardinalità.

Set infinito

Un insieme infinito è inteso come tutto ciò che il numero dei suoi elementi è innumerevole, poiché non importa quanto sia grande il numero dei suoi elementi, è sempre possibile trovare più elementi.

Un esempio di un insieme infinito è l'insieme dei numeri naturali N, che in forma estesa è espresso come segue:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} È chiaramente un insieme infinito, poiché non importa quanto grande possa essere un numero naturale, il successivo più grande può sempre essere trovato, in un processo infinito. Chiaramente la cardinalità di un insieme infinito è ∞.

Set vuoto

È l'insieme che non contiene alcun elemento. L'insieme vuoto V è indicato da Ø o da una coppia di chiavi senza elementi all'interno:

V = {} = Ø.

L'insieme vuoto è unico, quindi deve essere errato dire "un insieme vuoto", la forma corretta è dire "l'insieme vuoto".

Tra le proprietà dell'insieme vuoto abbiamo che è un sottoinsieme di qualsiasi insieme:

Ø ⊂ A

Inoltre, se un insieme è un sottoinsieme dell'insieme vuoto, allora necessariamente detto insieme sarà il vuoto:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Set unitario

Un insieme di unità è qualsiasi insieme che contiene un singolo elemento. Ad esempio, l'insieme dei satelliti naturali della Terra è un insieme unitario, il cui unico elemento è la Luna. L'insieme B di interi minori di 2 e maggiori di zero ha solo l'elemento 1, quindi è un insieme di unità.

Set binario

Un insieme è binario se ha solo due elementi. Ad esempio l'insieme X, tale che x sia una soluzione in numero reale di x ^ 2 = 2. Questo insieme per estensione è scritto in questo modo:

X = {-√2, + √2}

Set universale

Il set universale è un set che contiene altri set dello stesso tipo o natura. Ad esempio, l'insieme universale dei numeri naturali è l'insieme dei numeri reali. Ma i numeri reali sono un insieme universale anche dei numeri interi e dei numeri razionali.

Articoli principali

- Relazioni tra insiemi

Negli assiemi, è possibile stabilire vari tipi di relazione tra loro ei loro elementi. Se due insiemi A e B hanno esattamente gli stessi elementi tra di loro, viene stabilita una relazione di uguaglianza, indicata come segue:

A = B

Se tutti gli elementi di un insieme A appartengono a un insieme B, ma non tutti gli elementi di B appartengono ad A, allora tra questi insiemi c'è una relazione di inclusione che è denotata in questo modo:

A ⊂ B, ma B ⊄ A

L'espressione sopra dice: A è un sottoinsieme di B, ma B non è un sottoinsieme di A.

Per indicare che uno o più elementi appartengono a un insieme, viene utilizzato il simbolo di appartenenza ∈, ad esempio per dire che l'elemento o gli elementi x appartengono all'insieme A è scritto simbolicamente in questo modo:

x ∈ A

Se un elemento non appartiene all'insieme A, questa relazione è scritta in questo modo:

e ∉ A

La relazione di appartenenza esiste tra gli elementi di un insieme e l'insieme, con la sola eccezione dell'insieme di potenza, essendo l'insieme di potenza la raccolta o l'insieme di tutti i possibili insiemi che possono essere formati con gli elementi di detto insieme.

Supponiamo che V = {a, e, i}, il suo insieme di potenze sia P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i} , {a, e, i}}, in quel caso l'insieme V diventa un elemento dell'insieme P (V) e può essere scritto:

V ∈ P (V)

- Proprietà di inclusione

La prima proprietà dell'inclusione stabilisce che ogni insieme è contenuto in se stesso, o in altre parole, che è un sottoinsieme di se stesso:

A ⊂ A

L'altra proprietà dell'inclusione è la transitività: se A è un sottoinsieme di B e B è a sua volta un sottoinsieme di C, allora A è un sottoinsieme di C. In forma simbolica, la relazione di transitività è scritta come segue:

(LA ⊂ SI) ^ (SI ⊂ DO) => LA ⊂ DO

Di seguito è riportato il diagramma di Venn corrispondente alla transitività dell'inclusione:

Figura 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Operazioni tra le serie

Intersezione

L'intersezione è un'operazione tra due insiemi che dà origine a un nuovo insieme appartenente allo stesso insieme universale dei primi due. In questo senso, è un'operazione chiusa.

Simbolicamente l'operazione di intersezione è formulata in questo modo:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Un esempio è il seguente: l'insieme A delle lettere di nella parola “elementi” e l'insieme B delle lettere della parola “ripetuto”, l'intersezione tra A e B è scritta così:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. L'insieme universale U di A, di B e anche di A⋂B è l'insieme delle lettere dell'alfabeto spagnolo.

Unione

L'unione di due insiemi è l'insieme formato dagli elementi comuni ai due insiemi e dagli elementi non comuni dei due insiemi. L'operazione di unione tra insiemi è espressa simbolicamente in questo modo:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

Differenza

L'operazione di differenza dell'insieme A meno dell'insieme B è indicata con AB. AB è un nuovo insieme formato da tutti gli elementi che sono in A e che non appartengono a B. Simbolicamente si scrive così:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Figura 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Differenza simmetrica

La differenza simmetrica è un'operazione tra due insiemi in cui l'insieme risultante è costituito dagli elementi non comuni ai due insiemi. La differenza simmetrica è rappresentata simbolicamente in questo modo:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

Esempi

Esempio 1

Il diagramma di Venn è un modo grafico di rappresentare gli insiemi. Ad esempio, l'insieme C delle lettere nella parola insieme è rappresentato in questo modo:

Esempio 2

Di seguito è mostrato dai diagrammi di Venn che l'insieme di vocali nella parola "insieme" è un sottoinsieme dell'insieme di lettere nella parola "insieme".

Esempio 3

L'insieme Ñ delle lettere dell'alfabeto spagnolo è un insieme finito, questo insieme per estensione è scritto così:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} e la sua cardinalità è 27.

Esempio 4

L'insieme V delle vocali in spagnolo è un sottoinsieme dell'insieme Ñ:

V ⊂ Ñ quindi è un insieme finito.

L'insieme finito V in forma estesa è scritto così: V = {a, e, i, o, u} e la sua cardinalità è 5.

Esempio 5

Dati gli insiemi A = {2, 4, 6, 8} e ​​B = {1, 2, 4, 7, 9}, determinare AB e BA.

A - B sono gli elementi di A che non sono in B:

A - B = {6, 8}

B - A sono gli elementi di B che non sono in A:

B - A = {1, 7, 9}

Esercizi risolti

Esercizio 1

Scrivi in ​​forma simbolica e anche per estensione l'insieme P di numeri naturali pari inferiori a 10.

Soluzione: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

Esercizio 2

Supponiamo che l'insieme A sia formato dai numeri naturali che sono fattori di 210, e l'insieme B che sia formato dai numeri naturali primi minori di 9. Determina per estensione entrambi gli insiemi e stabilisci quale relazione c'è tra i due insiemi.

Soluzione: per determinare gli elementi dell'insieme A, dobbiamo iniziare trovando i fattori del numero naturale 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Quindi l'insieme A è scritto:

A = {2, 3, 5, 7}

Consideriamo ora l'insieme B, che è il numero primo minore di 9. 1 non è primo perché non soddisfa la definizione di primo: "un numero è primo se e solo se ha esattamente due divisori, 1 e il numero stesso". Il 2 è pari e allo stesso tempo è primo perché soddisfa la definizione di primo, gli altri numeri primi inferiori a 9 sono 3, 5 e 7. Quindi l'insieme B è:

B = {2, 3, 5, 7}

Pertanto i due insiemi sono uguali: A = B.

Esercizio 3

Determina l'insieme i cui elementi x sono diversi da x.

Soluzione: C = {x / x ≠ x}

Poiché ogni elemento, numero o oggetto è uguale a se stesso, l'insieme C non può essere diverso dall'insieme vuoto:

C = Ø

Esercizio 4

Sia l'insieme di N di numeri naturali e Z l'insieme di interi. Determina N ⋂ Z e N ∪ Z.

Soluzione:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z perché N ⊂ Z.

Riferimenti

1. Garo, M. (2014). Matematica: equazioni quadratiche: come risolvere un'equazione quadratica. Marilù Garo.
2. Haeussler, EF e Paul, RS (2003). Matematica per la gestione e l'economia. Pearson Education.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematica 1 SEP. Soglia.
4. Preciado, CT (2005). Corso di matematica 3 °. Editoriale Progreso.
5. Matematica 10 (2018). "Esempi di insiemi finiti". Estratto da: matematicas10.net
6. Wikipedia. Insiemistica. Estratto da: es.wikipedia.com