SOMMA TELESCOPICA: COME SI RISOLVE ED ESERCIZI RISOLTI - MATEMATICA - 2026

La somma telescopica è una serie numerica di operazioni di ramo. Si occupa della somma di elementi da un valore iniziale a "n" di espressioni il cui argomento obbedisce a uno dei seguenti modelli:

(F _x - F _{x + 1} ); (F _{x + 1} - F _x )

Come pure:

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Rappresentano una sommatoria di elementi che una volta sviluppata è soggetta ad annullamenti di termini opposti. Consentendo di definire la seguente uguaglianza per le sommatorie telescopiche:

Il suo nome deriva dalla relazione con l'aspetto di un telescopio classico, che poteva essere piegato e aperto, cambiando notevolmente la sua dimensione. Allo stesso modo, le sommatorie telescopiche, di natura infinita, possono essere riassunte nell'espressione semplificata:

F ₁ - F _{n + 1}

Dimostrazione

Quando si sviluppa la somma dei termini, l'eliminazione dei fattori è abbastanza ovvia. Dove per ciascuno dei casi, gli elementi opposti appariranno nella successiva iterazione.

Il primo caso, (F _x - F _{x + 1} ), sarà preso come esempio , poiché il processo funziona in modo omologato per (F _{x + 1} –F _x ).

Sviluppando i primi 3 valori {1, 2, 3} si osserva la tendenza alla semplificazione

X ₁ (FA ₁ - FA _{1 + 1} ) = FA ₁ - FA ₂

X ₂ (FA ₂ - FA _{2 + 1} ) = FA ₂ - FA ₃

X ₃ (FA ₃ - FA _{3 + 1} ) = FA ₃ - FA ₄

Dove quando si esprime la somma degli elementi descritti:

X ₁ + X ₂ + X ₃ = FA ₁ - FA ₂ + FA ₂ - FA ₃ + FA ₃ - FA ₄

Si osserva che i termini F ₂ e F ₃ sono descritti insieme ai loro opposti, il che rende inevitabile la loro semplificazione. Allo stesso modo, si osserva che i termini F ₁ e F ₄ vengono mantenuti.

Se la somma è stata fatta da x = 1 ax = 3, significa che l'elemento F ₄ corrisponde al termine generico F _{n + 1.}

Dimostrando così l'uguaglianza:

Come si risolve?

Lo scopo delle sommatorie telescopiche è quello di facilitare il lavoro, in modo che non sia necessario sviluppare un numero infinito di termini, o di semplificare qualche catena di addendi troppo lunga.

Per la sua risoluzione sarà solo necessario valutare i termini F ₁ e F _{n + 1} . Queste semplici sostituzioni costituiscono il risultato finale della somma.

La totalità dei termini non verrà espressa, rendendosi necessaria solo per la dimostrazione del risultato, ma non per il normale processo di calcolo.

L'importante è notare la convergenza delle serie numeriche. A volte l'argomento della sommatoria non verrà espresso in modo telescopico. In questi casi, l'implementazione di metodi di factoring alternativi è molto comune.

Il metodo di fattorizzazione caratteristica nelle addizioni telescopiche è quello delle frazioni semplici. Ciò si verifica quando una frazione originale viene scomposta in una somma di più frazioni, dove si può osservare lo schema telescopico (F _x - F _{x + 1} ) o (F _{x + 1} - F _x ).

Decomposizione in semplici frazioni

Per verificare la convergenza di serie numeriche, è molto comune trasformare espressioni razionali con il metodo delle frazioni semplici. L'obiettivo è modellare la trama nella forma di una sommatoria telescopica.

Ad esempio, la seguente uguaglianza rappresenta una scomposizione in semplici frazioni:

Quando si sviluppa la serie numerica e si applicano le proprietà corrispondenti, l'espressione assume la forma seguente:

Dove si apprezza la forma telescopica (F _x - F _{x + 1} ).

La procedura è abbastanza intuitiva e consiste nel trovare i valori del numeratore che, senza rompere l'uguaglianza, ci permettono di separare i prodotti trovati nel denominatore. Le equazioni che sorgono nella determinazione di questi valori, vengono sollevate in base a confronti tra entrambi i lati dell'uguaglianza.

Questa procedura viene osservata passo dopo passo nello sviluppo dell'esercizio 2.

Storia

È abbastanza incerto poter definire il momento storico in cui sono state presentate le somme telescopiche. Tuttavia, la sua attuazione inizia a essere vista nel XVII secolo, negli studi di serie numeriche condotti da Leibniz e Huygens.

Entrambi i matematici, esplorando le somme di numeri triangolari, iniziano a notare tendenze nella convergenza di alcune serie di elementi successivi. Ma ancora più interessante è l'inizio della modellazione di queste espressioni, in elementi che non necessariamente si susseguono.

Infatti, l'espressione utilizzata in precedenza per riferirsi a frazioni semplici:

Fu introdotto da Huygens e catturò immediatamente l'attenzione di Leibniz. Chi nel tempo ha potuto osservare la convergenza al valore 2. Senza saperlo, ha implementato il formato della sommatoria telescopica.

esercizi

Esercizio 1

Definisci a quale termine converge la seguente somma:

Quando si sviluppa manualmente la somma, si osserva il seguente schema:

(2 ³ - 2 ⁴ ) + (2 ⁴ - 2 ⁵ ) + (2 ⁵ - 2 ⁶ ). . . . (2 ¹⁰ - 2 ¹¹ )

Dove i fattori da 2 ⁴ a 2 ¹⁰ presentano parti positive e negative, rendendo evidente la loro cancellazione. Quindi gli unici fattori che non saranno semplificati saranno il primo “2 ³ ” e l'ultimo “2 ¹¹ ”.

In questo modo, implementando il criterio della sommatoria telescopica, si ottiene:

Esercizio 2

Trasforma l'argomento in una somma di tipo telescopica e definisci la convergenza delle serie:

Come indicato nell'affermazione, la prima cosa da fare è scomporre in semplici frazioni, in modo da riaffermare l'argomento ed esprimerlo in modo telescopico.

Si devono trovare 2 frazioni i cui denominatori siano rispettivamente "n" e "n + 1", dove il metodo utilizzato di seguito deve ottenere i valori del numeratore che soddisfano l'uguaglianza.

Procediamo per definire i valori di A e B. Innanzitutto, sommiamo le frazioni.

Quindi i denominatori vengono semplificati e viene stabilita un'equazione lineare.

Nella fase successiva, viene utilizzata l'espressione a destra, fino a ottenere un modello paragonabile al "3" a sinistra.

Per definire le equazioni da utilizzare, è necessario confrontare i risultati di entrambi i lati dell'uguaglianza. In altre parole, non si osservano valori della variabile n sul lato sinistro, in questo modo A + B dovrà essere uguale a zero.

A + B = 0; A = -B

D'altra parte, il valore della costante A dovrà essere uguale al valore della costante 3.

A = 3

Così.

A = 3 e B = -3

Una volta che i valori del numeratore per le frazioni semplici sono già definiti, la somma viene riformulata.

Dove la forma generica di sommatoria telescopica è già stata raggiunta. Viene sviluppata la serie telescopica.

Dove dividendo per un numero molto grande il risultato si avvicinerà sempre di più allo zero, osservando la convergenza della serie al valore 3.

Questo tipo di serie non potrebbe essere risolto in altro modo, a causa del numero infinito di iterazioni che definiscono il problema. Tuttavia, questo metodo, insieme a molti altri, inquadra il ramo di studio delle serie numeriche, il cui obiettivo è determinare i valori di convergenza o definire la divergenza di dette serie.

Riferimenti

1. Lezioni infinitesimali di calcolo. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
2. Calcolo integrale: successioni e serie di funzioni. Antonio Rivera Figueroa. Grupo Editorial Patria, 21 ottobre. 2014.
3. Un corso di calcolo e analisi reale. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5 giugno. 2006.
4. Serie infinita. Tomlinson Fort. The Clarendon Press, 1930.
5. Elementi di Teoria dei Processi Infiniti. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 1923.