SISTEMA OTTALE: STORIA, SISTEMA DI NUMERAZIONE, CONVERSIONI - MATEMATICA - 2025

Il sistema ottale è un sistema di numerazione posizionale in base otto (8); cioè, consiste di otto cifre, che sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Pertanto, ogni cifra di un numero ottale può avere qualsiasi valore da 0 a 7. I numeri ottali sono formati da numeri binari.

Questo perché la sua base è una potenza esatta di due (2). Cioè, i numeri che appartengono al sistema ottale si formano quando sono raggruppati in tre cifre consecutive, ordinate da destra a sinistra, ottenendo così il loro valore decimale.

Storia

Il sistema ottale ha origine in tempi antichi, quando le persone usavano le mani per contare gli animali da otto a otto.

Ad esempio, per contare il numero di vacche in una stalla, si comincia a contare con la mano destra, unendo il pollice con il mignolo; Quindi, per contare il secondo animale, il pollice è stato unito all'indice, e così via con le restanti dita di ciascuna mano, fino a completare 8.

Esiste la possibilità che nell'antichità il sistema di numerazione ottale fosse utilizzato prima del decimale per poter contare gli spazi interdigitali; vale a dire contare tutte le dita tranne i pollici.

Successivamente è stato stabilito il sistema di numerazione ottale, che ha avuto origine dal sistema binario, perché ha bisogno di molte cifre per rappresentare un solo numero; da allora in poi sono stati creati i sistemi ottali ed esagonali, che non richiedono così tante cifre e possono essere facilmente convertiti nel sistema binario.

Sistema di numerazione ottale

Il sistema ottale è composto da otto cifre che vanno da 0 a 7. Queste hanno lo stesso valore del sistema decimale, ma il loro valore relativo cambia a seconda della posizione che occupano. Il valore di ogni posizione è dato dalle potenze in base 8.

Le posizioni delle cifre in un numero ottale hanno i seguenti pesi:

8 ⁴ , 8 ³ , 8 ² , 8 ¹ , 8 ⁰ , punto ottale, 8 ^-1 , 8 ^-2 , 8 ^-3 , 8 ^-4 , 8 ^-5 .

La cifra ottale più grande è 7; quindi, quando si conta in questo sistema, la posizione di una cifra viene aumentata da 0 a 7. Quando viene raggiunto 7, viene riciclata a 0 per il conteggio successivo; in questo modo si aumenta la posizione della cifra successiva. Ad esempio, per contare le sequenze, nel sistema ottale sarà:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

Esiste un teorema fondamentale che viene applicato al sistema ottale, ed è espresso nel modo seguente:

In questa espressione di rappresenta la cifra moltiplicata per la potenza di base 8, che indica il valore di posizione di ciascuna cifra, nello stesso modo in cui è ordinata nel sistema decimale.

Ad esempio, hai il numero 543,2. Per portarlo al sistema ottale, si scompone come segue:

N = ∑ = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + (2 * 0,125)

N = 320 +32 + 2 + 0,25 = 354 + 0,25 _d

Quindi, abbiamo 543,2 _q = 354,25 _d . Il pedice q indica che è un numero ottale che può essere rappresentato anche dal numero 8; e il pedice d si riferisce al numero decimale, che può anche essere rappresentato dal numero 10.

Conversione da ottale a sistema decimale

Per convertire un numero dal sistema ottale al suo equivalente nel sistema decimale, moltiplica semplicemente ogni cifra ottale per il suo valore di posizione, a partire da destra.

Esempio 1

732 ₈ = (7 _* 8 ² ) + (3 _* 8 ¹ ) + (2 _* 8 ⁰ ) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

Esempio 2

26,9 ₈ = (2 _* 8 ¹ ) + (6 _* 8 ⁰ ) + (9 _* 8 ^-1 ) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0,125)

26,9 ₈ = 16 + 6 + 1,125

26,9 ₈ = 23,125 ₁₀

Conversione da sistema decimale a ottale

Un numero intero decimale può essere convertito in un numero ottale utilizzando il metodo della divisione ripetuta, dove il numero intero decimale viene diviso per 8 fino a quando il quoziente è uguale a 0, e il resto di ogni divisione rappresenterà il numero ottale.

I residui vengono ordinati dall'ultimo al primo; ovvero, il primo resto sarà la cifra meno significativa del numero ottale. In questo modo, la cifra più significativa sarà l'ultimo resto.

Esempio

Numero decimale ottale 266 ₁₀

- Dividi il numero decimale 266 per 8 = 266/8 = 33 + resto di 2.

- Quindi dividere 33 per 8 = 33/8 = 4 + resto di 1.

- Dividi 4 per 8 = 4/8 = 0 + resto di 4.

Poiché con l'ultima divisione si ottiene un quoziente inferiore a 1, significa che il risultato è stato trovato; Devi solo ordinare i resti inversamente, in modo tale che il numero ottale di 266 decimale sia 412, come si può vedere nell'immagine seguente:

Conversione da ottale a sistema binario

La conversione da ottale a binaria viene eseguita convertendo la cifra ottale nella sua cifra binaria equivalente, composta da tre cifre. C'è una tabella che mostra come vengono convertite le otto possibili cifre:

Da queste conversioni, qualsiasi numero dal sistema ottale al binario può essere modificato, ad esempio, per convertire il numero 572 _8, cerchiamo i suoi equivalenti nella tabella. Quindi, devi:

5 ₈ = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

Pertanto, 572 _{8 è} equivalente nel sistema binario a 10111110.

Conversione da binario a ottale

Il processo di conversione di interi binari in interi ottali è il contrario del processo precedente.

Cioè, i bit del numero binario sono raggruppati in due gruppi di tre bit, a partire da destra a sinistra. Quindi, la conversione da binario a ottale viene eseguita con la tabella sopra.

In alcuni casi il numero binario non avrà gruppi di 3 bit; per completarlo vengono aggiunti uno o due zeri a sinistra del primo gruppo.

Ad esempio, per modificare il numero binario 11010110 in ottale, procedi come segue:

- Si formano gruppi di 3 bit partendo da destra (ultimo bit):

11010110

- Poiché il primo gruppo è incompleto, viene aggiunto uno zero iniziale:

011010110

- La conversione viene effettuata dalla tabella:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Pertanto, il numero binario 011010110 è uguale a 326 ₈ .

Conversione da ottale a esadecimale e viceversa

Per passare da un numero ottale al sistema esadecimale o da esadecimale a ottale, è necessario convertire prima il numero in binario e poi nel sistema desiderato.

Per questo, esiste una tabella dove ogni cifra esadecimale è rappresentata con il suo equivalente nel sistema binario, composta da quattro cifre.

In alcuni casi, il numero binario non avrà gruppi di 4 bit; per completarlo vengono aggiunti uno o due zeri a sinistra del primo gruppo

Esempio

Converti il ​​numero ottale 1646 in numero esadecimale:

- Converti il ​​numero da ottale a binario

1 ₈ = 1

6 ₈ = 110

4 ₈ = 100

6 ₈ = 110

- Quindi, 1646 ₈ = 1110100110.

- Per convertire da binario a esadecimale, vengono prima ordinati in un gruppo di 4 bit, a partire da destra a sinistra:

11 1010 0110

- Il primo gruppo viene completato con zeri, in modo che possa avere 4 bit:

0011 1010 0110

- Viene eseguita la conversione da binario a esadecimale. Le equivalenze vengono sostituite mediante la tabella:

0011 = 3

1010 = A

0110 = 6

Pertanto, il numero ottale 1646 è uguale a 3A6 nel sistema esadecimale.

Riferimenti

1. Bressan, AE (1995). Introduzione ai sistemi di numerazione. Università argentina dell'azienda.
2. Harris, JN (1957). Introduzione ai sistemi di numerazione binaria e ottale: Lexington, Mass. Armed Services Technical Information Agency.
3. Kumar, AA (2016). Fondamenti di circuiti digitali. Learning Pvt.
4. Peris, XC (2009). Sistemi operativi singoli.
5. Ronald J. Tocci, NS (2003). Sistemi digitali: principi e applicazioni. Pearson Education.