La regola Sturges è un criterio utilizzato per determinare il numero di classi o intervalli necessari per tracciare un insieme di dati statistici. Questa regola fu enunciata nel 1926 dal matematico tedesco Herbert Sturges.
Sturges ha proposto un metodo semplice, basato sul numero di campioni x che ci avrebbe permesso di trovare il numero di classi e la loro ampiezza di intervallo. La regola di Sturges è ampiamente utilizzata, soprattutto nell'area della statistica, specificamente per costruire istogrammi di frequenza.
Spiegazione
La regola di Sturges è un metodo empirico ampiamente utilizzato nelle statistiche descrittive per determinare il numero di classi che devono esistere in un istogramma di frequenza, al fine di classificare un insieme di dati che rappresenta un campione o una popolazione.
Fondamentalmente, questa regola determina la larghezza dei contenitori grafici, degli istogrammi di frequenza.
Per stabilire la sua regola Herbert Sturges considerò un diagramma di frequenza ideale, costituito da intervalli K, in cui l'intervallo i-esimo contiene un certo numero di campioni (i = 0,… k - 1), rappresentati come:
Quel numero di campioni è dato dal numero di modi in cui un sottoinsieme di un insieme può essere estratto; cioè dal coefficiente binomiale, espresso come segue:
Per semplificare l'espressione, ha applicato le proprietà dei logaritmi a entrambe le parti dell'equazione:
Pertanto, Sturges ha stabilito che il numero ottimale di intervalli k è dato dall'espressione:
Può anche essere espresso come:
In questa espressione:
- k è il numero di classi.
- N è il numero totale di osservazioni nel campione.
- Log è il logaritmo comune in base 10.
Ad esempio, per costruire un istogramma di frequenza che esprima un campione casuale di 142 bambini di altezza, il numero di intervalli o classi che la distribuzione avrà è:
k = 1 + 3,322 * log 10 (N)
k = 1 + 3,322 * log (142)
k = 1 + 3,322 * 2,1523
k = 8,14 ≈ 8
Pertanto, la distribuzione sarà in 8 intervalli.
Il numero di intervalli deve essere sempre rappresentato da numeri interi. Nei casi in cui il valore è decimale, è necessario effettuare un'approssimazione al numero intero più vicino.
applicazioni
La regola di Sturges trova applicazione principalmente in statistica, in quanto permette di effettuare una distribuzione di frequenza attraverso il calcolo del numero di classi (k), oltre che della lunghezza di ciascuna di queste, detta anche ampiezza.
L'ampiezza è la differenza del limite superiore e inferiore della classe, divisa per il numero di classi, ed è espressa:
Esistono molte regole pratiche che consentono di effettuare una distribuzione di frequenza. Tuttavia, la regola di Sturges è comunemente usata perché approssima il numero di classi, che generalmente varia da 5 a 15.
Pertanto, considera un valore che rappresenta adeguatamente un campione o una popolazione; cioè l'approssimazione non rappresenta raggruppamenti estremi, né funziona con un numero eccessivo di classi che non consentono di riassumere il campione.
Esempio
È necessario creare un istogramma di frequenza in base ai dati forniti, che corrispondono alle età ottenute in un sondaggio di uomini che si allenano in una palestra locale.
Per determinare gli intervalli, è necessario conoscere la dimensione del campione o il numero di osservazioni; in questo caso sono 30.
Quindi si applica la regola di Sturges:
k = 1 + 3,322 * log 10 (N)
k = 1 + 3,322 * log (30)
k = 1 + 3,322 * 1,4771
k = 5,90 ≈ 6 intervalli.
Dal numero di intervalli si può calcolare l'ampiezza che questi avranno; ovvero la larghezza di ciascuna barra rappresentata nell'istogramma della frequenza:
Il limite inferiore è considerato il valore più piccolo dei dati e il limite superiore è il valore più grande. La differenza tra i limiti superiore e inferiore è chiamata intervallo o intervallo della variabile (R).
Dalla tabella abbiamo che il limite superiore è 46 e il limite inferiore è 13; quindi, l'ampiezza di ogni classe sarà:
Gli intervalli saranno costituiti da un limite superiore e uno inferiore. Per determinare questi intervalli, iniziamo contando dal limite inferiore, aggiungendo a questo l'ampiezza determinata dalla regola (6), come segue:
Quindi viene calcolata la frequenza assoluta per determinare il numero di uomini corrispondenti a ciascun intervallo; in questo caso è:
- Intervallo 1:13 - 18 = 9
- Intervallo 2:19 - 24 = 9
- Intervallo 3:25 - 30 = 5
- Intervallo 4:31 - 36 = 2
- Intervallo 5:37 - 42 = 2
- Intervallo 6:43 - 48 = 3
Quando si aggiunge la frequenza assoluta di ciascuna classe, questa deve essere uguale al numero totale del campione; in questo caso, 30.
Successivamente, viene calcolata la frequenza relativa di ciascun intervallo, dividendo la sua frequenza assoluta per il numero totale di osservazioni:
- Intervallo 1: fi = 9 ÷ 30 = 0,30
- Intervallo 2: fi = 9 ÷ 30 = 0,30
- Intervallo 3: fi = 5 ÷ 30 = 0,1666
- Intervallo 4: fi = 2 ÷ 30 = 0,0666
- Intervallo 5: fi = 2 ÷ 30 = 0,0666
- Intervallo 4: fi = 3 ÷ 30 = 0.10
Quindi puoi creare una tabella che rifletta i dati, e anche il diagramma dalla frequenza relativa in relazione agli intervalli ottenuti, come si può vedere nelle immagini seguenti:
In questo modo la regola di Sturges permette di determinare il numero di classi o intervalli in cui un campione può essere suddiviso, in modo da sintetizzare un campione di dati attraverso l'elaborazione di tabelle e grafici.
Riferimenti
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