- Spiegazione
- Come ridurre i termini simili?
- Esempio
- Soluzione
- Riduzione di termini simili con segni di uguale
- Riduzione dei termini simili c
- Riduzione di termini simili nelle operazioni
- In somme
- In sottrazione
- In moltiplicazioni
- In divisioni
- Esercizi risolti
- Primo esercizio
- Soluzione
- Secondo esercizio
- Soluzione
- Riferimenti
La riduzione di tali termini è un metodo utilizzato per semplificare le espressioni algebriche. In un'espressione algebrica, termini simili sono quelli che hanno la stessa variabile; cioè hanno le stesse incognite rappresentate da una lettera, e queste hanno gli stessi esponenti.
In alcuni casi i polinomi sono estesi e per arrivare a una soluzione bisogna cercare di ridurre l'espressione; Ciò è possibile quando ci sono termini simili, che possono essere combinati applicando operazioni e proprietà algebriche come addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.
Spiegazione
I termini simili sono costituiti dalle stesse variabili con gli stessi esponenti, e in alcuni casi questi sono differenziati solo dai loro coefficienti numerici.
Sono considerati termini simili anche quelli che non hanno variabili; cioè quei termini che hanno solo costanti. Quindi, ad esempio, i seguenti sono termini simili:
- 6x 2 - 3x 2 . Entrambi i termini hanno la stessa variabile x 2 .
- 4a 2 b 3 + 2a 2 b 3 . Entrambi i termini hanno le stesse variabili a 2 b 3 .
- 7 - 6. I termini sono costanti.
Quei termini che hanno le stesse variabili ma con esponenti diversi sono chiamati termini dissimili, come ad esempio:
- 9a 2 b + 5ab. Le variabili hanno esponenti diversi.
- 5x + y. Le variabili sono differenti.
- b - 8. Un termine ha una variabile, l'altro è una costante.
Individuando i termini simili che formano un polinomio, questi possono essere ridotti a uno, unendo tutti quelli che hanno le stesse variabili con gli stessi esponenti. In questo modo si semplifica l'espressione riducendo il numero di termini che la compongono e si facilita il calcolo della sua soluzione.
Come ridurre i termini simili?
La riduzione dei termini simili viene effettuata applicando la proprietà associativa di addizione e la proprietà distributiva del prodotto. Utilizzando la seguente procedura, è possibile ridurre il termine:
- Innanzitutto, i termini simili vengono raggruppati.
- I coefficienti (i numeri che accompagnano le variabili) dei termini simili vengono aggiunti o sottratti e vengono applicate le proprietà associative, commutative o distributive, a seconda dei casi.
- Quindi si scrivono i nuovi termini ottenuti, ponendo di fronte ad essi il segno risultante dall'operazione.
Esempio
Riduci i termini della seguente espressione: 10x + 3y + 4x + 5y.
Soluzione
Innanzitutto, i termini sono ordinati per raggruppare quelli simili, applicando la proprietà commutativa:
10x + 3y + 4x + 5y = 10x + 4x + 3y + 5y.
Quindi si applica la proprietà distributiva e si sommano i coefficienti che accompagnano le variabili per ottenere la riduzione dei termini:
10x + 4x + 3y + 5y
= (10 + 4) x + (3 + 5) y
= 14x + 8y.
Per ridurre termini simili, è importante tenere conto dei segni dei coefficienti che accompagnano la variabile. Ci sono tre possibili casi:
Riduzione di termini simili con segni di uguale
In questo caso vengono sommati i coefficienti e il segno dei termini viene posto davanti al risultato. Pertanto, se sono positivi, i termini risultanti saranno positivi; nel caso in cui i termini siano negativi, il risultato avrà il segno (-) accompagnato dalla variabile. Per esempio:
a) 22ab 2 + 12ab 2 = 34 ab 2 .
b) -18x 3 - 9x 3 - 6 = -27x 3 - 6.
Riduzione dei termini simili c
In questo caso, i coefficienti vengono sottratti e il segno del coefficiente più grande viene posizionato prima del risultato. Per esempio:
a) 15x 2 y - 4x 2 y + 6x 2 y - 11x 2 y
= (15x 2 a + 6x 2 a ) + (- 4x 2 a - 11x 2 a )
= 21x 2 y + (-15x 2 y)
= 21x 2 y - 15x 2 y
= 6x 2 e.
b) -5a 3 b + 3 a 3 b - 4a 3 b + a 3 b
= (3 a 3 b + a 3 b) + (-5a 3 b - 4a 3 b)
= 4a 3 b - 9a 3 b
= Da -5 a 3 b.
In questo modo, per ridurre termini simili che hanno segni diversi, si forma un unico termine additivo con tutti quelli che hanno segno positivo (+), si sommano i coefficienti e si accompagna il risultato alle variabili.
Allo stesso modo si forma un termine sottrattivo, con tutti quei termini che hanno segno negativo (-), si sommano i coefficienti e si accompagna il risultato alle variabili.
Infine vengono sottratte le somme dei due termini formati e sul risultato viene posto il segno del maggiore.
Riduzione di termini simili nelle operazioni
La riduzione di termini simili è un'operazione di algebra, che può essere applicata in aggiunta, sottrazione, moltiplicazione e divisione algebrica.
In somme
Quando si hanno più polinomi con termini simili, per ridurli, i termini di ciascun polinomio vengono ordinati mantenendo i loro segni, quindi vengono scritti uno dopo l'altro ei termini simili vengono ridotti. Ad esempio, abbiamo i seguenti polinomi:
3x - 4xy + 7x 2 e + 5xy 2 .
- 6x 2 y - 2xy + 9 xy 2 - 8x.
In sottrazione
Per sottrarre un polinomio da un altro si scrive il minuendo e poi si cambia il sottraendo con i suoi segni, quindi si effettua la riduzione dei termini simili. Per esempio:
5a 3 - 3ab 2 + 3b 2 c
6ab 2 + 2a 3 - 8b 2 c
Pertanto, i polinomi sono riassunti in 3a 3 - 9ab 2 + 11b 2 c.
In moltiplicazioni
In un prodotto di polinomi, i termini che compongono il moltiplicando vengono moltiplicati per ogni termine che compone il moltiplicatore, considerando che i segni della moltiplicazione rimangono gli stessi se sono positivi.
Verranno modificati solo se moltiplicati per un termine negativo; cioè, quando due termini dello stesso segno vengono moltiplicati il risultato sarà positivo (+), e quando hanno segni diversi il risultato sarà negativo (-).
Per esempio:
a) (a + b) * (a + b)
= a 2 + ab + ab + b 2
= a 2 + 2ab + b 2 .
b) (a + b) * (a - b)
= a 2 - ab + ab - b 2
= a 2 - b 2 .
c) (a - b) * (a - b)
= a 2 - ab - ab + b 2
= a 2 - 2ab + b 2 .
In divisioni
Quando vuoi ridurre due polinomi attraverso una divisione, devi trovare un terzo polinomio che, moltiplicato per il secondo (divisore), dia come risultato il primo polinomio (dividendo).
Per questo, i termini del dividendo e del divisore devono essere ordinati, da sinistra a destra, in modo che le variabili in entrambi siano nello stesso ordine.
Quindi si esegue la divisione, partendo dal primo termine a sinistra del dividendo per il primo termine a sinistra del divisore, tenendo sempre conto dei segni di ciascun termine.
Ad esempio, ridurre il polinomio: 10x 4 - 48x 3 y + 51x 2 e 2 + 4xy 3 - 15y 4 dividendolo per il polinomio: -5x 2 + 4xy + 3y 2 .
Il polinomio risultante è -2x 2 + 8xy - 5y 2 .
Esercizi risolti
Primo esercizio
Riduci i termini di una data espressione algebrica:
15a 2 - 8ab + 6a 2 - 6ab - 9 + 4a 2 - 13 ab.
Soluzione
Viene applicata la proprietà commutativa dell'addizione, raggruppando i termini che hanno le stesse variabili:
15a 2 - 8ab + 6a 2 - 6ab + 9 + 4a 2 - 13
= (15a 2 + 6a 2 + 4a 2 ) + (- 8ab - 6ab) + (9-13).
Quindi viene applicata la proprietà distributiva della moltiplicazione:
15a 2 - 8ab + 6a 2 - 6ab + 9 + 4a 2 - 13
= (15 + 6 + 4) a 2 + (- 8 - 6) ab + (9 - 13).
Infine, vengono semplificati aggiungendo e sottraendo i coefficienti di ciascun termine:
15a 2 - 8ab + 6a 2 - 6ab + 9 + 4a 2 - 13
= 25a 2 - 14ab - 4.
Secondo esercizio
Semplifica il prodotto dei seguenti polinomi:
(8x 3 + 7xy 2 ) * (8x 3 - 7 xy 2 ).
Soluzione
Ogni termine del primo polinomio viene moltiplicato per il secondo, tenendo conto che i segni dei termini sono diversi; quindi il risultato della sua moltiplicazione sarà negativo, così come dovranno essere applicate le leggi degli esponenti.
(8x 3 + 7xy 2 ) * (8x 3 - 7xy 2 )
= 64 x 6 - 56 x 3 * xy 2 + 56 x 3 * xy 2 - 49 x 2 y 4
= 64 x 6 - 49 x 2 y 4 .
Riferimenti
- Angelo, AR (2007). Algebra elementare. Pearson Education,.
- Baldor, A. (1941). Algebra. L'Avana: Cultura.
- Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Algebra elementare e intermedia: un approccio combinato. Florida: Cengage Learning.
- Smith, SA (2000). Algebra. Pearson Education.
- Vigil, C. (2015). Algebra e sue applicazioni.