RIDUZIONE DI TERMINI SIMILI (CON ESERCIZI RISOLTI) - MATEMATICA - 2024

La riduzione di tali termini è un metodo utilizzato per semplificare le espressioni algebriche. In un'espressione algebrica, termini simili sono quelli che hanno la stessa variabile; cioè hanno le stesse incognite rappresentate da una lettera, e queste hanno gli stessi esponenti.

In alcuni casi i polinomi sono estesi e per arrivare a una soluzione bisogna cercare di ridurre l'espressione; Ciò è possibile quando ci sono termini simili, che possono essere combinati applicando operazioni e proprietà algebriche come addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.

Spiegazione

I termini simili sono costituiti dalle stesse variabili con gli stessi esponenti, e in alcuni casi questi sono differenziati solo dai loro coefficienti numerici.

Sono considerati termini simili anche quelli che non hanno variabili; cioè quei termini che hanno solo costanti. Quindi, ad esempio, i seguenti sono termini simili:

- 6x ² - 3x ² . Entrambi i termini hanno la stessa variabile x ² .

- 4a ² b ³ + 2a ² b ³ . Entrambi i termini hanno le stesse variabili a ² b ³ .

- 7 - 6. I termini sono costanti.

Quei termini che hanno le stesse variabili ma con esponenti diversi sono chiamati termini dissimili, come ad esempio:

- 9a ² b + 5ab. Le variabili hanno esponenti diversi.

- 5x + y. Le variabili sono differenti.

- b - 8. Un termine ha una variabile, l'altro è una costante.

Individuando i termini simili che formano un polinomio, questi possono essere ridotti a uno, unendo tutti quelli che hanno le stesse variabili con gli stessi esponenti. In questo modo si semplifica l'espressione riducendo il numero di termini che la compongono e si facilita il calcolo della sua soluzione.

Come ridurre i termini simili?

La riduzione dei termini simili viene effettuata applicando la proprietà associativa di addizione e la proprietà distributiva del prodotto. Utilizzando la seguente procedura, è possibile ridurre il termine:

- Innanzitutto, i termini simili vengono raggruppati.

- I coefficienti (i numeri che accompagnano le variabili) dei termini simili vengono aggiunti o sottratti e vengono applicate le proprietà associative, commutative o distributive, a seconda dei casi.

- Quindi si scrivono i nuovi termini ottenuti, ponendo di fronte ad essi il segno risultante dall'operazione.

Esempio

Riduci i termini della seguente espressione: 10x + 3y + 4x + 5y.

Soluzione

Innanzitutto, i termini sono ordinati per raggruppare quelli simili, applicando la proprietà commutativa:

10x + 3y + 4x + 5y = 10x + 4x + 3y + 5y.

Quindi si applica la proprietà distributiva e si sommano i coefficienti che accompagnano le variabili per ottenere la riduzione dei termini:

10x + 4x + 3y + 5y

= (10 + 4) x + (3 + 5) y

= 14x + 8y.

Per ridurre termini simili, è importante tenere conto dei segni dei coefficienti che accompagnano la variabile. Ci sono tre possibili casi:

Riduzione di termini simili con segni di uguale

In questo caso vengono sommati i coefficienti e il segno dei termini viene posto davanti al risultato. Pertanto, se sono positivi, i termini risultanti saranno positivi; nel caso in cui i termini siano negativi, il risultato avrà il segno (-) accompagnato dalla variabile. Per esempio:

a) 22ab ² + 12ab ² = 34 ab ² .

b) -18x ³ - 9x ³ - 6 = -27x ³ - 6.

Riduzione dei termini simili c

In questo caso, i coefficienti vengono sottratti e il segno del coefficiente più grande viene posizionato prima del risultato. Per esempio:

a) 15x ² y - 4x ² y + 6x ² y - 11x ² y

= (15x ^{2 a} + 6x ^{2 a} ) + (- 4x ^{2 a} - 11x ^{2 a} )

= 21x ² y + (-15x ² y)

= 21x ² y - 15x ² y

= 6x ² e.

b) -5a ³ b + 3 a ³ b - 4a ³ b + a ³ b

= (3 a ³ b + a ³ b) + (-5a ³ b - 4a ³ b)

= 4a ³ b - 9a ³ b

= Da -5 a ³ b.

In questo modo, per ridurre termini simili che hanno segni diversi, si forma un unico termine additivo con tutti quelli che hanno segno positivo (+), si sommano i coefficienti e si accompagna il risultato alle variabili.

Allo stesso modo si forma un termine sottrattivo, con tutti quei termini che hanno segno negativo (-), si sommano i coefficienti e si accompagna il risultato alle variabili.

Infine vengono sottratte le somme dei due termini formati e sul risultato viene posto il segno del maggiore.

Riduzione di termini simili nelle operazioni

La riduzione di termini simili è un'operazione di algebra, che può essere applicata in aggiunta, sottrazione, moltiplicazione e divisione algebrica.

In somme

Quando si hanno più polinomi con termini simili, per ridurli, i termini di ciascun polinomio vengono ordinati mantenendo i loro segni, quindi vengono scritti uno dopo l'altro ei termini simili vengono ridotti. Ad esempio, abbiamo i seguenti polinomi:

3x - 4xy + 7x ² e + 5xy ² .

- 6x ² y - 2xy + 9 xy ² - 8x.

In sottrazione

Per sottrarre un polinomio da un altro si scrive il minuendo e poi si cambia il sottraendo con i suoi segni, quindi si effettua la riduzione dei termini simili. Per esempio:

5a ³ - 3ab ² + 3b ² c

6ab ² + 2a ³ - 8b ² c

Pertanto, i polinomi sono riassunti in 3a ³ - 9ab ² + 11b ² c.

In moltiplicazioni

In un prodotto di polinomi, i termini che compongono il moltiplicando vengono moltiplicati per ogni termine che compone il moltiplicatore, considerando che i segni della moltiplicazione rimangono gli stessi se sono positivi.

Verranno modificati solo se moltiplicati per un termine negativo; cioè, quando due termini dello stesso segno vengono moltiplicati il ​​risultato sarà positivo (+), e quando hanno segni diversi il risultato sarà negativo (-).

Per esempio:

a) (a + b) _* (a + b)

= a ² + ab + ab + b ²

= a ² + 2ab + b ² .

b) (a + b) _* (a - b)

= a ² - ab + ab - b ²

= a ² - b ² .

c) (a - b) _* (a - b)

= a ² - ab - ab + b ²

= a ² - 2ab + b ² .

In divisioni

Quando vuoi ridurre due polinomi attraverso una divisione, devi trovare un terzo polinomio che, moltiplicato per il secondo (divisore), dia come risultato il primo polinomio (dividendo).

Per questo, i termini del dividendo e del divisore devono essere ordinati, da sinistra a destra, in modo che le variabili in entrambi siano nello stesso ordine.

Quindi si esegue la divisione, partendo dal primo termine a sinistra del dividendo per il primo termine a sinistra del divisore, tenendo sempre conto dei segni di ciascun termine.

Ad esempio, ridurre il polinomio: 10x ⁴ - 48x ³ y + 51x ² e ² + 4xy ³ - 15y ⁴ dividendolo per il polinomio: -5x ² + 4xy + 3y ² .

Il polinomio risultante è -2x ² + 8xy - 5y ² .

Esercizi risolti

Primo esercizio

Riduci i termini di una data espressione algebrica:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab - 9 + 4a ² - 13 ab.

Soluzione

Viene applicata la proprietà commutativa dell'addizione, raggruppando i termini che hanno le stesse variabili:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= (15a ² + 6a ² + 4a ² ) + (- 8ab - 6ab) + (9-13).

Quindi viene applicata la proprietà distributiva della moltiplicazione:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= (15 + 6 + 4) a ² + (- 8 - 6) ab + (9 - 13).

Infine, vengono semplificati aggiungendo e sottraendo i coefficienti di ciascun termine:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= 25a ² - 14ab - 4.

Secondo esercizio

Semplifica il prodotto dei seguenti polinomi:

(8x ³ + 7xy ² ) _* (8x ³ - 7 xy ² ).

Soluzione

Ogni termine del primo polinomio viene moltiplicato per il secondo, tenendo conto che i segni dei termini sono diversi; quindi il risultato della sua moltiplicazione sarà negativo, così come dovranno essere applicate le leggi degli esponenti.

(8x ³ + 7xy ² ) _* (8x ³ - 7xy ² )

= 64 x ⁶ - 56 x ³ _* xy ² + 56 x ³ _* xy ² - 49 x ² y ⁴

= 64 x ⁶ - 49 x ² y ⁴ .

Riferimenti

1. Angelo, AR (2007). Algebra elementare. Pearson Education,.
2. Baldor, A. (1941). Algebra. L'Avana: Cultura.
3. Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Algebra elementare e intermedia: un approccio combinato. Florida: Cengage Learning.
4. Smith, SA (2000). Algebra. Pearson Education.
5. Vigil, C. (2015). Algebra e sue applicazioni.