RETTE OBLIQUE: CARATTERISTICHE, EQUAZIONI ED ESEMPI - MATEMATICA - 2024

Le linee oblique sono quelle che sono inclinate, rispetto a una superficie piana o altra linea che indica un particolare indirizzo. Ad esempio, considera le tre linee tracciate in un piano che appaiono nella figura seguente.

Conosciamo le rispettive posizioni relative perché le confrontiamo con una linea di riferimento, che di solito è l'asse x che indica l'orizzontale.

Figura 1. Linee verticali, orizzontali e oblique sullo stesso piano. Fonte: F. Zapata.

In questo modo, scegliendo l'orizzontale come riferimento, la linea a sinistra è verticale, quella al centro è orizzontale e quella a destra è obliqua, poiché è inclinata rispetto alle linee di riferimento giornaliere.

Ora, le linee che si trovano sullo stesso piano, come la superficie della carta o dello schermo, occupano posizioni diverse l'una rispetto all'altra, a seconda che si intersechino o meno. Nel primo caso sono linee secanti, mentre nel secondo sono parallele.

D'altra parte, le linee secanti possono essere linee oblique o linee perpendicolari. In entrambi i casi le pendenze delle rette sono differenti, ma le rette oblique formano tra loro angoli α e β diversi da 90º, mentre gli angoli determinati dalle rette perpendicolari sono sempre 90º.

La figura seguente riassume queste definizioni:

Figura 2. Posizioni relative tra le linee: parallele, oblique e perpendicolari differiscono per l'angolo che formano l'una con l'altra. Fonte: F. Zapata.

equazioni

Per conoscere le posizioni relative delle linee nel piano, è necessario conoscere l'angolo tra di loro. Nota che le linee sono:

Parallelo : se hanno la stessa pendenza (stessa direzione) e non si intersecano mai, quindi i loro punti sono equidistanti.

Coincidenti : quando tutti i suoi punti coincidono e quindi hanno la stessa pendenza, ma la distanza tra i suoi punti è zero.

Essiccatoi : se le loro pendenze sono diverse, la distanza tra i loro punti varia e l'intersezione è un unico punto.

Quindi un modo per sapere se due linee nel piano sono secanti o parallele è attraverso la loro pendenza. I criteri di parallelismo e perpendicolarità delle linee sono i seguenti:

Se, conoscendo le pendenze di due linee nel piano, nessuno dei criteri di cui sopra è soddisfatto, concludiamo che le linee sono oblique. Conoscendo due punti su una linea, la pendenza viene calcolata immediatamente, come vedremo nella prossima sezione.

Puoi scoprire se due rette sono secanti o parallele trovando la loro intersezione, risolvendo il sistema di equazioni che formano: se c'è una soluzione, sono secanti, se non c'è soluzione, sono parallele, ma se le soluzioni sono infinite, le rette sono coincidenti.

Tuttavia, questo criterio non ci informa sull'angolo tra queste linee, anche se si intersecano.

Per conoscere l'angolo tra le linee, dobbiamo due vettori u e v che appartengono a ciascuno di essi. È quindi possibile conoscere l'angolo che formano tramite il prodotto scalare dei vettori, così definito:

u • v = uvcos α

Equazione della retta nel piano

Una linea nel piano cartesiano può essere rappresentata in diversi modi, ad esempio:

- Forma pendenza-intercetta: se m è la pendenza della retta eb è l'intersezione della retta con l'asse verticale, l'equazione della retta è y = mx + b.

- Equazione generale della retta : Ax + By + C = 0, dove m = A / B è la pendenza.

Nel piano cartesiano le linee verticali e orizzontali sono casi particolari dell'equazione della retta.

- Linee verticali : x = a

- Linee orizzontali : y = k

Figura 3. A sinistra la linea verticale x = 4 e la linea orizzontale y = 6. A destra un esempio di linea obliqua. Fonte: F. Zapata.

Negli esempi in figura 3, la linea rossa verticale ha equazione x = 4, mentre la linea parallela all'asse x (blu) ha equazione y = 6. Per quanto riguarda la linea a destra, vediamo che è obliqua e per trovare la sua equazione utilizziamo i punti evidenziati in figura: (0,2) e (4,0) in questo modo:

Il taglio di questa linea con l'asse verticale è y = 2, come si può vedere dal grafico. Con queste informazioni:

Determinare l'angolo di inclinazione rispetto all'asse x è semplice. Sento che:

Pertanto l'angolo positivo dall'asse x alla linea è: 180º - 26,6º = 153,4º

Esempi di linee oblique

Figura 4. Esempi di linee oblique. Fonte: schermitori Ian Patterson. Torre pendente di Pisa. Pixabay.

Linee oblique compaiono in molti punti, si tratta di prestare attenzione a trovarle in architettura, sport, cablaggio elettrico, idraulica e in molti altri luoghi. In natura sono presenti anche le linee oblique, come vedremo di seguito:

Raggi di luce

La luce solare viaggia in linea retta, ma la forma rotonda della Terra influenza il modo in cui la luce solare colpisce la superficie.

Nell'immagine sotto possiamo vedere chiaramente che i raggi del sole colpiscono perpendicolarmente nelle regioni tropicali, ma raggiungono invece la superficie obliquamente nelle regioni temperate e ai poli.

Questo è il motivo per cui i raggi del sole percorrono una distanza maggiore attraverso l'atmosfera e anche il calore si diffonde su una superficie più ampia (vedi figura). Il risultato è che le aree vicino ai poli sono più fredde.

Figura 5. I raggi del sole cadono obliquamente nelle zone temperate e ai poli, invece sono più o meno perpendicolari nei tropici. Fonte: Wikimedia Commons.

Linee che non sono sullo stesso piano

Quando due linee non sono sullo stesso piano, possono comunque essere oblique o deformate, come sono anche note. In questo caso, i loro vettori direttori non sono paralleli, ma poiché non appartengono allo stesso piano, queste linee non si intersecano.

Ad esempio, le linee nella figura 6 a destra sono chiaramente su piani diversi. Se li guardi dall'alto, puoi vedere che si intersecano, ma non hanno un punto comune. A destra vediamo le ruote della bicicletta, i cui raggi sembrano incrociarsi se visti frontalmente.

Figura 6. Linee oblique appartenenti a piani diversi. Fonte: sinistra F. Zapata, destra Pixabay.

Riferimenti

1. Geometria. Direttore vettore di una linea. Estratto da: juanbragado.es.
2. Larson, R. 2006. Calculus with Analytical Geometry. 8 °. Edizione. McGraw Hill.
3. La matematica è un gioco. Linee e angoli. Estratto da: juntadeandalucia.es.
4. Linee rette che si intersecano. Estratto da: profesoraltuna.com.
5. Villena, M. Analytical Geometry in R3. Recupero da: dspace.espol.edu.ec.