RAGIONAMENTO ALGEBRICO (CON ESERCIZI RISOLTI) - MATEMATICA - 2024

Il ragionamento algebrico consiste essenzialmente nell'argomento matematico che comunica attraverso un linguaggio speciale, che rende più rigorose le variabili generali utilizzando operazioni algebriche definite e tra loro. Una caratteristica della matematica è il rigore logico e la tendenza astratta usati nei suoi argomenti.

Ciò richiede la conoscenza della "grammatica" corretta da utilizzare in questa scrittura. Inoltre, il ragionamento algebrico evita ambiguità nella giustificazione di un argomento matematico, che è essenziale per dimostrare qualsiasi risultato in matematica.

Variabili algebriche

Una variabile algebrica è semplicemente una variabile (una lettera o un simbolo) che rappresenta un determinato oggetto matematico.

Ad esempio, le lettere x, y, z sono spesso usate per rappresentare i numeri che soddisfano una data equazione; le lettere p, qr, per rappresentare formule proposizionali (o le rispettive lettere maiuscole per rappresentare proposizioni specifiche); e le lettere A, B, X, ecc., per rappresentare gli insiemi.

Il termine "variabile" sottolinea che l'oggetto in questione non è fisso, ma varia. Questo è il caso di un'equazione, in cui le variabili vengono utilizzate per determinare soluzioni che sono in linea di principio sconosciute.

In termini generali, una variabile algebrica può essere considerata come una lettera che rappresenta un oggetto, fisso o meno.

Proprio come le variabili algebriche vengono utilizzate per rappresentare oggetti matematici, possiamo anche considerare i simboli per rappresentare operazioni matematiche.

Ad esempio, il simbolo "+" rappresenta l'operazione "aggiunta". Altri esempi sono le diverse notazioni simboliche di connettivi logici nel caso di proposizioni e insiemi.

Espressioni algebriche

Un'espressione algebrica è una combinazione di variabili algebriche mediante operazioni definite in precedenza. Esempi di ciò sono le operazioni di base di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione tra numeri, oi connettivi logici in proposizioni e insiemi.

Il ragionamento algebrico è responsabile dell'espressione di un ragionamento o di un argomento matematico attraverso espressioni algebriche.

Questa forma espressiva aiuta a semplificare e abbreviare la scrittura, poiché si avvale di notazioni simboliche e consente una migliore comprensione del ragionamento, presentandolo in modo più chiaro e preciso.

Esempi

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi che mostrano come viene utilizzato il ragionamento algebrico. Viene utilizzato molto regolarmente per risolvere problemi di logica e ragionamento, come vedremo tra poco.

Considera la ben nota proposizione matematica "la somma di due numeri è commutativa". Vediamo come possiamo esprimere algebricamente questa proposizione: dati due numeri "a" e "b", ciò che significa questa proposizione è che a + b = b + a.

Il ragionamento utilizzato per interpretare l'affermazione iniziale ed esprimerla in termini algebrici è il ragionamento algebrico.

Si potrebbe anche citare la famosa espressione "l'ordine dei fattori non altera il prodotto", che si riferisce al fatto che il prodotto di due numeri è anche commutativo, ed è algebricamente espresso come axb = bxa.

Allo stesso modo, le proprietà associative e distributive per l'addizione e il prodotto, in cui sono incluse la sottrazione e la divisione, possono essere (e sono) espresse algebricamente.

Questo tipo di ragionamento comprende un linguaggio molto ampio ed è utilizzato in molti contesti diversi. A seconda dei casi, in questi contesti è necessario riconoscere schemi, interpretare frasi e generalizzare e formalizzare la loro espressione in termini algebrici, fornendo ragionamenti validi e sequenziali.

Esercizi risolti

Di seguito sono riportati alcuni problemi logici, che risolveremo utilizzando il ragionamento algebrico:

Primo esercizio

Qual è il numero che, togliendone metà, è uguale a uno?

Soluzione

Per risolvere questo tipo di esercizio è molto utile rappresentare il valore che si vuole determinare tramite una variabile. In questo caso vogliamo trovare un numero che, prendendo la metà, dia il numero uno. Indichiamo con x il numero cercato.

"Prendere la metà" di un numero implica dividerlo per 2. Quindi quanto sopra può essere espresso algebricamente come x / 2 = 1, e il problema si riduce alla risoluzione di un'equazione, che in questo caso è lineare e molto facile da risolvere. Risolvendo per x otteniamo che la soluzione è x = 2.

In conclusione, 2 è il numero che quando si prende la metà è uguale a 1.

Secondo esercizio

Quanti minuti mancano a mezzanotte se 10 minuti fa 5/3 di quello che rimane adesso?

Soluzione

Indichiamo con "z" il numero di minuti fino a mezzanotte (qualsiasi altra lettera può essere utilizzata). Vale a dire che in questo momento ci sono "z" minuti fino a mezzanotte. Ciò implica che 10 minuti fa mancavano "z + 10" minuti per mezzanotte, e questo corrisponde a 5/3 di ciò che manca ora; cioè, (5/3) z.

Quindi il problema si riduce alla risoluzione dell'equazione z + 10 = (5/3) z. Moltiplicando entrambi i lati dell'uguaglianza per 3, otteniamo l'equazione 3z + 30 = 5z.

Ora, raggruppando la variabile "z" su un lato dell'uguaglianza, otteniamo che 2z = 15, il che implica che z = 15.

Quindi mancano 15 minuti a mezzanotte.

Terzo esercizio

In una tribù che pratica il baratto, ci sono queste equivalenze:

- Una lancia e una collana vengono scambiate per uno scudo.

- Una lancia equivale a un coltello e una collana.

- Due scudi vengono scambiati con tre unità di coltelli.

A quante collane equivale una lancia?

Soluzione

Sean:

Co = una collana

L = una lancia

E = uno scudo

Cu = un coltello

Quindi abbiamo le seguenti relazioni:

Co + L = E

L = Co + Cu

2E = 3Cu

Quindi il problema si riduce alla risoluzione di un sistema di equazioni. Nonostante abbia più incognite che equazioni, questo sistema può essere risolto, poiché non ci chiedono una soluzione specifica ma una delle variabili in funzione di un'altra. Quello che dobbiamo fare è esprimere "Co" esclusivamente in termini di "L".

Dalla seconda equazione abbiamo che Cu = L - Co. Sostituendo nella terza equazione otteniamo che E = (3L - 3Co) / 2. Infine, sostituendo nella prima equazione e semplificando si ottiene che 5Co = L; cioè una lancia è uguale a cinque collane.

Riferimenti

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