Si chiama relativamente primo (coprimi o sono relativamente primi tra loro) a qualsiasi coppia di interi non ha divisore comune diverso da 1.
In altre parole, due interi sono numeri primi relativi se nelle loro scomposizioni in numeri primi non hanno alcun fattore in comune.
Ad esempio, se si scelgono 4 e 25, le fattorizzazioni prime di ciascuna sono rispettivamente 2² e 5². Come si può vedere, questi non hanno fattori comuni, quindi 4 e 25 sono numeri primi relativi.
Se invece si scelgono 6 e 24, quando si fanno le loro scomposizioni in fattori primi, si ottiene che 6 = 2 * 3 e 24 = 2³ * 3.
Come puoi vedere, queste ultime due espressioni hanno almeno un fattore in comune, quindi non sono numeri primi relativi.
Cugini parenti
Un dettaglio a cui prestare attenzione è che dire che una coppia di numeri interi sono numeri primi relativi non implica che nessuno di essi sia primo.
D'altra parte, la definizione di cui sopra può essere riassunta come segue: due numeri interi "a" e "b" sono numeri primi relativi se, e solo se, il massimo comune divisore di questi è 1, cioè mcd ( a, b) = 1.
Due conclusioni immediate da questa definizione sono che:
-Se «a» (o «b») è un numero primo, allora mcd (a, b) = 1.
-Se «a» e «b» sono numeri primi, allora mcd (a, b) = 1.
Cioè, se almeno uno dei numeri scelti è un numero primo, allora direttamente la coppia di numeri sono primi relativi.
Altre caratteristiche
Altri risultati utilizzati per determinare se due numeri sono primi relativi sono:
-Se due numeri interi sono consecutivi, sono numeri primi relativi.
-Due numeri naturali "a" e "b" sono numeri primi relativi se, e solo se, i numeri "(2 ^ a) -1" e "(2 ^ b) -1" sono numeri primi relativi.
-Due interi «a» e «b» sono numeri primi relativi se, e solo se, quando si rappresenta graficamente il punto (a, b) nel piano cartesiano e si costruisce la retta che passa per l'origine (0,0) e ( a, b), non contiene alcun punto con coordinate intere.
Esempi
1.- Considera gli interi 5 e 12. Le scomposizioni in fattori primi di entrambi i numeri sono: 5 e 2² * 3 rispettivamente. In conclusione, mcd (5,12) = 1, quindi 5 e 12 sono numeri primi relativi.
2.- Siano i numeri -4 e 6. Quindi -4 = -2² e 6 = 2 * 3, in modo che LCD (-4,6) = 2 ≠ 1. In conclusione -4 e 6 non sono numeri primi relativi.
Se procediamo a rappresentare graficamente la retta che passa per le coppie ordinate (-4.6) e (0,0), e per determinare l'equazione di detta retta, si può verificare che essa passa per il punto (-2,3).
Ancora una volta si conclude che -4 e 6 non sono numeri primi relativi.
3.- I numeri 7 e 44 sono numeri primi relativi e si può concludere velocemente grazie a quanto detto sopra, poiché 7 è un numero primo.
4.- Considera i numeri 345 e 346. Essendo due numeri consecutivi si verifica che mcd (345,346) = 1, quindi 345 e 346 sono numeri primi relativi.
5.- Se si considerano i numeri 147 e 74, questi sono numeri primi relativi, poiché 147 = 3 * 7² e 74 = 2 * 37, quindi LCD (147,74) = 1.
6.- I numeri 4 e 9 sono numeri primi relativi. Per dimostrarlo, è possibile utilizzare la seconda caratterizzazione sopra menzionata. Infatti, 2 ^ 4-1 = 16-1 = 15 e 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.
I numeri ottenuti sono 15 e 511. Le fattorizzazioni prime di questi numeri sono rispettivamente 3 * 5 e 7 * 73, così che mcd (15,511) = 1.
Come puoi vedere, utilizzare la seconda caratterizzazione è un lavoro più lungo e laborioso rispetto alla verifica diretta.
7.- Considera i numeri -22 e -27. Quindi questi numeri possono essere riscritti come segue: -22 = -2 * 11 e -27 = -3³. Pertanto, mcd (-22, -27) = 1, quindi -22 e -27 sono numeri primi relativi.
Riferimenti
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