COSA SONO I LIMITI TRIGONOMETRICI? (ESERCIZI RISOLTI) - MATEMATICA - 2025

I limiti trigonometrici sono limiti di funzioni tali che queste funzioni sono formate da funzioni trigonometriche.

Ci sono due definizioni che devono essere conosciute per capire come calcolare un limite trigonometrico.

Queste definizioni sono:

- Limite di una funzione «f» quando «x» tende a «b»: consiste nel calcolare il valore al quale f (x) si avvicina man mano che «x» si avvicina a «b», senza arrivare a «b» ».

- Funzioni trigonometriche: le funzioni trigonometriche sono le funzioni seno, coseno e tangente, denotate rispettivamente da sin (x), cos (x) e tan (x).

Le altre funzioni trigonometriche sono ottenute dalle tre funzioni sopra menzionate.

Limiti di funzione

Per chiarire il concetto di limite di funzione, procederemo a mostrare alcuni esempi con funzioni semplici.

- Il limite di f (x) = 3 quando "x" tende a "8" è uguale a "3", poiché la funzione è sempre costante. Non importa quanto valga "x", il valore di f (x) sarà sempre "3".

- Il limite di f (x) = x-2 quando «x» tende a «6» è «4». Da quando "x" si avvicina a "6", "x-2" si avvicina a "6-2 = 4".

- Il limite di g (x) = x² quando "x" tende a "3" è uguale a 9, poiché quando "x" si avvicina a "3" allora "x²" si avvicina a "3² = 9" .

Come si può vedere negli esempi precedenti, il calcolo di un limite consiste nel valutare il valore a cui tende "x" nella funzione, e il risultato sarà il valore del limite, sebbene questo sia vero solo per le funzioni continue.

Esistono limiti più complicati?

La risposta è si. Gli esempi precedenti sono gli esempi più semplici di limiti. Nei libri di calcolo, i principali esercizi sui limiti sono quelli che generano un'indeterminatezza del tipo 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 e (∞) ^ 0.

Queste espressioni sono chiamate indeterminatezze poiché sono espressioni che non hanno senso matematicamente.

Inoltre, a seconda delle funzioni coinvolte nel limite originale, il risultato ottenuto risolvendo le indeterminatezze può essere diverso in ogni caso.

Esempi di limiti trigonometrici semplici

Per risolvere i limiti è sempre molto utile conoscere i grafici delle funzioni coinvolte. Di seguito vengono mostrati i grafici delle funzioni seno, coseno e tangente.

Alcuni esempi di semplici limiti trigonometrici sono:

- Calcola il limite del peccato (x) quando «x» tende a «0».

Guardando il grafico si può vedere che se "x" si avvicina a "0" (sia da sinistra che da destra), anche il grafico seno si avvicina a "0". Pertanto, il limite di sin (x) quando "x" tende a "0" è "0".

- Calcola il limite di cos (x) quando «x» tende a «0».

Osservando il grafico del coseno si può vedere che quando "x" è vicino a "0" allora il grafico del coseno è vicino a "1". Ciò implica che il limite di cos (x) quando "x" tende a "0" è uguale a "1".

Può esistere un limite (essere un numero), come negli esempi precedenti, ma può anche accadere che non esista come mostrato nell'esempio seguente.

- Il limite di tan (x) quando «x» tende a «Π / 2» da sinistra è uguale a «+ ∞», come si può vedere nel grafico. D'altra parte, il limite di tan (x) quando "x" tende a "-Π / 2" da destra è uguale a "-∞".

Identità dei limiti trigonometrici

Due identità molto utili per il calcolo dei limiti trigonometrici sono:

- Il limite di «sin (x) / x» quando «x» tende a «0» è uguale a «1».

- Il limite di «(1-cos (x)) / x» quando «x» tende a «0» è uguale a «0».

Queste identità vengono utilizzate molto spesso quando si ha una sorta di indeterminatezza.

Esercizi risolti

Risolvere i seguenti limiti utilizzando le identità descritte sopra.

- Calcola il limite di «f (x) = sin (3x) / x» quando «x» tende a «0».

Se la funzione "f" è valutata a "0", si otterrà un'indeterminatezza di tipo 0/0. Pertanto, dobbiamo cercare di risolvere questa indeterminatezza utilizzando le identità descritte.

L'unica differenza tra questo limite e l'identità è il numero 3 che appare all'interno della funzione seno. Per applicare l'identità, la funzione «f (x)» deve essere riscritta nel modo seguente «3 * (sin (3x) / 3x)». Ora sia l'argomento seno che il denominatore sono uguali.

Quindi, quando "x" tende a "0", l'utilizzo dell'identità dà "3 * 1 = 3". Pertanto, il limite di f (x) quando "x" tende a "0" è uguale a "3".

- Calcola il limite di «g (x) = 1 / x - cos (x) / x» quando «x» tende a «0».

Quando "x = 0" è sostituito in g (x), si ottiene un'indeterminatezza del tipo ∞-∞. Per risolverlo, le frazioni vengono prima sottratte, il che restituisce "(1-cos (x)) / x".

Ora, applicando la seconda identità trigonometrica abbiamo che il limite di g (x) quando «x» tende a «0» è uguale a 0.

- Calcola il limite di «h (x) = 4tan (5x) / 5x» quando «x» tende a «0».

Di nuovo, se h (x) è valutato a "0", si otterrà un'indeterminatezza di tipo 0/0.

Riscrivere come (5x) come sin (5x) / cos (5x) risulta in h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Usando ciò il limite di 4 / cos (x) quando "x" tende a "0" è uguale a "4/1 = 4" e si ottiene la prima identità trigonometrica che il limite di h (x) quando "x" tende uno "0" è uguale a "1 * 4 = 4".

Osservazione

I limiti trigonometrici non sono sempre facili da risolvere. In questo articolo sono stati mostrati solo esempi di base.

Riferimenti

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