COSA SONO LE EQUAZIONI SIMULTANEE? (ESERCIZI RISOLTI) - MATEMATICA - 2024

Le equazioni simultanee sono quelle equazioni che devono essere soddisfatte allo stesso tempo. Pertanto, per avere equazioni simultanee devi avere più di un'equazione.

Quando hai due o più equazioni diverse, che devono avere la stessa soluzione (o le stesse soluzioni), si dice che hai un sistema di equazioni o si dice anche che hai equazioni simultanee.

Quando abbiamo equazioni simultanee, può succedere che non abbiano soluzioni comuni o abbiano una quantità finita o abbiano una quantità infinita.

Equazioni simultanee

Date due diverse equazioni Eq1 ed Eq2, ne consegue che il sistema di queste due equazioni è chiamato equazioni simultanee.

Le equazioni simultanee soddisfano che se S è una soluzione di Eq1 allora S è anche una soluzione di Eq2 e viceversa

caratteristiche

Quando si tratta di un sistema di equazioni simultanee, puoi avere 2 equazioni, 3 equazioni o N equazioni.

I metodi più comuni utilizzati per risolvere equazioni simultanee sono: sostituzione, equalizzazione e riduzione. C'è anche un altro metodo chiamato regola di Cramer, che è molto utile per sistemi di più di due equazioni simultanee.

Un esempio di equazioni simultanee è il sistema

Eq1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

Si può vedere che x = 0, y = 2 è una soluzione di Eq1 ma non è una soluzione di Eq2.

L'unica soluzione comune che hanno entrambe le equazioni è x = 1, y = 1. Cioè, x = 1, y = 1 è la soluzione del sistema di equazioni simultanee.

Esercizi risolti

Successivamente, procediamo alla risoluzione del sistema di equazioni simultanee mostrato sopra, attraverso i 3 metodi menzionati.

Primo esercizio

Risolvi il sistema di equazioni Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 usando il metodo di sostituzione.

Soluzione

Il metodo di sostituzione consiste nel risolvere una delle incognite in una delle equazioni e quindi sostituirla nell'altra equazione. In questo caso particolare, possiamo risolvere per "y" dall'Eq1 e otteniamo che y = 2-x.

Sostituendo questo valore di «y» nell'Eq2, otteniamo che 2x- (2-x) = 1. Pertanto, otteniamo che 3x-2 = 1, cioè x = 1.

Quindi, poiché il valore di x è noto, viene sostituito in "y" e otteniamo che y = 2-1 = 1.

Pertanto, l'unica soluzione al sistema di equazioni simultanee Eq1 ed Eq2 è x = 1, y = 1.

Secondo esercizio

Risolvi il sistema di equazioni Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 usando il metodo di corrispondenza.

Soluzione

Il metodo di corrispondenza consiste nel risolvere lo stesso incognito in entrambe le equazioni e quindi abbinare le equazioni risultanti.

Risolvendo per "x" da entrambe le equazioni, otteniamo che x = 2-y e che x = (1 + y) / 2. Ora, queste due equazioni sono equalizzate e otteniamo che 2-y = (1 + y) / 2, da cui segue che 4-2y = 1 + y.

Raggruppando la "y" sconosciuta sullo stesso lato si ottiene y = 1. Ora che "y" è noto, procediamo per trovare il valore di "x". Sostituendo y = 1, otteniamo che x = 2-1 = 1.

Pertanto, la soluzione comune tra le equazioni Eq1 ed Eq2 è x = 1, y = 1.

Terzo esercizio

Risolvi il sistema di equazioni Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 usando il metodo di riduzione.

Soluzione

Il metodo di riduzione consiste nel moltiplicare le equazioni date per i coefficienti appropriati, in modo che quando si aggiungono queste equazioni una delle variabili viene annullata.

In questo particolare esempio, non è necessario moltiplicare alcuna equazione per alcun coefficiente, basta sommarli. Sommando Eq1 più Eq2, otteniamo che 3x = 3, da cui otteniamo x = 1.

Quando valutiamo x = 1 in Eq1, otteniamo che 1 + y = 2, da cui segue che y = 1.

Pertanto, x = 1, y = 1 è l'unica soluzione alle equazioni simultanee Eq1 ed Eq2.

Quarto esercizio

Risolvi il sistema di equazioni simultanee Eq1: 2x-3y = 8 ed Eq2: 4x-3y = 12.

Soluzione

In questo esercizio non è richiesto alcun metodo particolare, quindi può essere applicato il metodo più comodo per ogni lettore.

In questo caso, verrà utilizzato il metodo di riduzione. Moltiplicando Eq1 per -2 si ottiene l'equazione Eq3: -4x + 6y = -16. Ora, sommando Eq3 ed Eq2 otteniamo che 3y = -4, quindi y = -4 / 3.

Ora, valutando y = -4 / 3 nell'Eq1, otteniamo che 2x-3 (-4/3) = 8, da cui 2x + 4 = 8, quindi x = 2.

In conclusione, l'unica soluzione al sistema di equazioni simultanee Eq1 ed Eq2 è x = 2, y = -4 / 3.

Osservazione

I metodi descritti in questo articolo possono essere applicati a sistemi con più di due equazioni simultanee.

Più equazioni e più incognite ci sono, più complicata è la procedura per risolvere il sistema.

Qualsiasi metodo per risolvere sistemi di equazioni produrrà le stesse soluzioni, ovvero le soluzioni non dipendono dal metodo applicato.

Riferimenti

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