Il gravicentro è una definizione molto usata in geometria quando si lavora con i triangoli.
Per comprendere la definizione di gravità, è prima necessario conoscere la definizione di "mediane" di un triangolo.
Le mediane di un triangolo sono i segmenti di linea che iniziano a ciascun vertice e raggiungono il punto medio del lato opposto a quel vertice.
Il punto di intersezione delle tre mediane di un triangolo è chiamato baricentro o è anche conosciuto come gravicentro.
Non basta solo conoscere la definizione, è interessante sapere come viene calcolato questo punto.
Calcolo del centro di gravità
Dato un triangolo ABC con vertici A = (x1, y1), B = (x2, y2) e C = (x3, y3), abbiamo che il gravicentro è l'intersezione delle tre mediane del triangolo.
Una formula veloce che permette il calcolo del baricentro di un triangolo, note le coordinate dei suoi vertici è:
G = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3).
Con questa formula è possibile trovare la posizione del centro gravitazionale nel piano cartesiano.
Caratteristiche del Gravicentro
Non è necessario disegnare le tre mediane del triangolo, perché disegnandone due sarà evidente dove si trova il gravicentro.
Il gravicentro divide ogni mediana in 2 parti la cui proporzione è 2: 1, cioè i due segmenti di ciascuna mediana sono divisi in segmenti di lunghezza 2/3 e 1/3 della lunghezza totale, maggiore è la distanza che c'è tra il vertice e il baricentro.
L'immagine seguente illustra meglio questa proprietà.
La formula per calcolare la gravità è molto semplice da applicare. Il modo per ottenere questa formula è calcolare le equazioni di linea che definiscono ciascuna mediana e quindi trovare il punto di intersezione di queste linee.
esercizi
Di seguito è riportato un breve elenco di problemi relativi al calcolo del centro di gravità.
1.- Dato un triangolo con vertici A = (0,0), B = (1,0) e C = (1,1), calcola il centro di gravità di detto triangolo.
Usando la formula data, si può rapidamente concludere che il centro di gravità del triangolo ABC è:
G = ((0 + 1 + 1) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (2/3, 1/3).
2.- Se un triangolo ha vertici A = (0,0), B = (1,0) e C = (1 / 2,1), quali sono le coordinate del gravicentro?
Poiché i vertici del triangolo sono noti, procediamo ad applicare la formula per il calcolo del centro di gravità. Pertanto, il gravicentro ha coordinate:
G = ((0 + 1 + 1/2) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (1/2, 1/3).
3.- Calcola i possibili gravicentros per un triangolo equilatero in modo che due dei suoi vertici siano A = (0,0) e B = (2,0).
In questo esercizio specifichi solo due vertici del triangolo. Per trovare i possibili gravicentros, dobbiamo prima calcolare il terzo vertice del triangolo.
Poiché il triangolo è equilatero e la distanza tra A e B è 2, il terzo vertice C deve trovarsi alla distanza 2 da A e B.
Usando il fatto che in un triangolo equilatero l'altezza coincide con la mediana e usando anche il teorema di Pitagora, si può concludere che le opzioni per le coordinate del terzo vertice sono C1 = (1, √3) o C2 = (1, - √3).
Quindi le coordinate dei due possibili gravicentri sono:
G1 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0 + √3) / 3) = (3/3, √3 / 3) = (1, √3 / 3),
G2 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0-√3) / 3) = (3/3, -√3 / 3) = (1, -√3 / 3).
Grazie ai resoconti precedenti, si può anche notare che la mediana è stata divisa in due parti la cui proporzione è 2: 1.
Riferimenti
- Landaverde, F. d. (1997). Geometria (ristampa ed.). Progresso.
- Leake, D. (2006). Triangoli (illustrato ed.). Heinemann-Raintree.
- Pérez, CD (2006). Precalcolo. Pearson Education.
- Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrie. Tecnologia CR.
- Sullivan, M. (1997). Precalcolo. Pearson Education.
- Sullivan, M. (1997). Trigonometria e Geometria Analitica. Pearson Education.