PROPRIETÀ DI BLOCCO DELL'ALGEBRA: DIMOSTRAZIONE, ESEMPI - MATEMATICA - 2025

La proprietà lock dell'algebra è un fenomeno che mette in relazione due elementi di un insieme con un'operazione, dove la condizione necessaria è che, dopo che i 2 elementi sono stati elaborati sotto detta operazione, il risultato appartenga anche all'insieme iniziale.

Ad esempio, se prendiamo i numeri pari come un insieme e una somma come un'operazione, otteniamo un blocco di quell'insieme rispetto alla somma. Questo perché la somma di 2 numeri pari produrrà sempre un altro numero pari, soddisfacendo così la condizione di blocco.

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caratteristiche

Ci sono molte proprietà che determinano spazi o corpi algebrici, come strutture o anelli. Tuttavia, la proprietà lock è una delle più conosciute nell'algebra di base.

Non tutte le applicazioni di queste proprietà si basano su elementi o fenomeni numerici. Molti esempi quotidiani possono essere elaborati da un puro approccio teorico-algebrico.

Un esempio possono essere i cittadini di un paese che assumono una relazione legale di qualsiasi tipo, come una partnership commerciale o un matrimonio tra gli altri. Dopo che questa operazione o gestione è stata eseguita, rimangono cittadini del paese. In questo modo le operazioni di cittadinanza e gestione nei confronti di due cittadini rappresentano una serratura.

Algebra numerica

Per quanto riguarda i numeri, sono molti gli aspetti che sono stati oggetto di studio in diverse correnti di matematica e algebra. Da questi studi è emerso un gran numero di assiomi e teoremi che servono come base teorica per la ricerca e il lavoro contemporanei.

Se lavoriamo con gli insiemi numerici possiamo stabilire un'altra definizione valida per la proprietà lock. Si dice che un insieme A sia il blocco di un altro insieme B se A è l'insieme più piccolo che contiene tutti gli insiemi e le operazioni che B contiene.

Dimostrazione

La prova di blocco si applica agli elementi e alle operazioni presenti nell'insieme dei numeri reali R.

Siano A e B due numeri che appartengono all'insieme R, la chiusura di questi elementi è definita per ogni operazione contenuta in R.

Somma

- Somma: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R

Questo è il modo algebrico di dire che per tutti A e B che appartengono ai numeri reali, abbiamo che la somma di A più B è uguale a C, che appartiene anche a quelli reali.

È facile verificare se questa proposizione è vera; è sufficiente effettuare la somma tra un numero qualsiasi e verificare se il risultato appartiene anche ai numeri reali.

3 + 2 = 5 ∈ R

-2 + (-7) = -9 ∈ R

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ R

Si osserva che la condizione di blocco è soddisfatta per i numeri reali e la somma. In questo modo si può concludere: la somma dei numeri reali è un blocco algebrico.

Moltiplicazione

- Moltiplicazione: ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C ∈ R

Per tutti A e B che appartengono ai reali, abbiamo che la moltiplicazione di A per B è uguale a C, che appartiene anche ai reali.

Durante la verifica con gli stessi elementi dell'esempio precedente, si osservano i seguenti risultati.

3 x 2 = 6 ∈ R

-2 x (-7) = 14 ∈ R

-3 x 1/3 = -1 ∈ R

5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R

Questa è una prova sufficiente per concludere che: La moltiplicazione dei numeri reali è un blocco algebrico.

Questa definizione può essere estesa a tutte le operazioni di numeri reali, anche se troveremo alcune eccezioni.

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Casi speciali in R

Divisione

Il primo caso speciale è la divisione, dove si vede la seguente eccezione:

∀ LA ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

Per tutti A e B che appartengono a R abbiamo che A tra B non appartiene ai reali se e solo se B è uguale a zero.

Questo caso si riferisce alla restrizione di non poter dividere per zero. Poiché lo zero appartiene ai numeri reali, ne consegue che: la divisione non è un blocco dei reali.

Archiviazione

Esistono anche operazioni di potenziamento, più specificamente quelle di radicalizzazione, dove vengono presentate eccezioni per poteri radicali di pari indice:

Per ogni A che appartiene ai reali, l'ennesima radice di A appartiene ai reali, se e solo se A appartiene ai reali positivi uniti a un insieme il cui unico elemento è zero.

In questo modo si denota che le radici pari si applicano solo a reali positivi e si conclude che il potenziamento non è un blocco in R.

Logaritmo

In maniera omologa si può vedere per la funzione logaritmica, che non è definita per valori minori o uguali a zero. Per verificare se il logaritmo è un blocco di R, procedere come segue:

Per ogni A che appartiene ai reali, il logaritmo di A appartiene ai reali, se e solo se A appartiene ai reali positivi.

Escludendo valori negativi e zero che appartengono anche a R si può affermare che:

Il logaritmo non è un blocco dei numeri reali.

Esempi

Controlla il blocco per l'addizione e la sottrazione dei numeri naturali:

Somma in N

La prima cosa è controllare la condizione di blocco per i diversi elementi dell'insieme dato, dove se si osserva che qualche elemento rompe con la condizione, l'esistenza di un blocco può essere automaticamente negata.

Questa proprietà è vera per tutti i possibili valori di A e B, come mostrato nelle seguenti operazioni:

1 + 3 = 4 ∈ N

5 + 7 = 12 ∈ N

1000 + 10000 = 11000 ∈ N

Non ci sono valori naturali che rompono la condizione di blocco, quindi si conclude:

La somma è un lucchetto in N.

Sottrai in N

Si cercano elementi naturali in grado di rompere la condizione; A - B appartiene ai nativi.

Azionando è facile trovare coppie di elementi naturali che non soddisfano la condizione di blocco. Per esempio:

7-10 = -3 ∉ a N

In questo modo possiamo concludere che:

La sottrazione non è un blocco sull'insieme dei numeri naturali.

Esercizi proposti

1-Mostra se la proprietà lock è soddisfatta per l'insieme di numeri razionali Q, per le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.

2-Spiega se l'insieme di numeri reali è un blocco dell'insieme di numeri interi.

3-Determina quale set numerico può essere il blocco dei numeri reali.

4-Dimostrare la proprietà del lucchetto per l'insieme dei numeri immaginari, rispetto a addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.

Riferimenti

1. Panorama di matematica pura: la scelta bourbakista. Jean Dieudonné. Reverte, 1987.
2. Teoria algebrica dei numeri. Alejandro J. Díaz Barriga, Ana Irene Ramírez, Francisco Tomás. Università Nazionale Autonoma del Messico, 1975.
3. Algebra lineare e sue applicazioni. Sandra Ibeth Ochoa García, Eduardo Gutiérrez González.
4. Strutture algebriche V: teoria del corpo. Hector A. Merklen. Organizzazione degli Stati americani, Segretariato generale, 1979.
5. Introduzione all'algebra commutativa. Michael Francis Atiyah, IG MacDonald. Reverte, 1973.