PROPRIETÀ ASSOCIATIVA: ADDIZIONE, MOLTIPLICAZIONE, ESEMPI, ESERCIZI - MATEMATICA - 2026

La proprietà associativa di addizione rappresenta il carattere associativo dell'operazione di addizione in vari insiemi matematici. In esso, tre (o più) elementi di detti insiemi sono correlati, chiamati a, bec, in modo tale che sia sempre vero:

a + (b + c) = (a + b) + c

In questo modo si garantisce che, indipendentemente dal modo di raggruppamento per effettuare l'operazione, il risultato sia lo stesso.

Figura 1. Usiamo la proprietà associativa dell'addizione molte volte quando si eseguono operazioni aritmetiche e algebriche. (Disegno: freepik Composizione: F. Zapata)

Ma va notato che la proprietà associativa non è sinonimo di proprietà commutativa. Cioè sappiamo che l'ordine degli addendi non altera la somma o che l'ordine dei fattori non altera il prodotto. Quindi per la somma si può scrivere così: a + b = b + a.

Tuttavia, nella proprietà associativa è diverso, poiché viene mantenuto l'ordine degli elementi da aggiungere e ciò che cambia è l'operazione che viene eseguita per prima. Ciò significa che l'aggiunta di prima (b + c) e l'aggiunta di a a questo risultato non ha importanza che iniziare ad aggiungere a con di al risultato aggiungendo c.

Molte operazioni importanti come l'aggiunta sono associative, ma non tutte. Ad esempio, nella sottrazione di numeri reali accade che:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Se a = 2, b = 3, c = 1, allora:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

Proprietà associativa di moltiplicazione

Come è stato fatto per l'addizione, la proprietà associativa della moltiplicazione afferma che:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

Nel caso dell'insieme dei numeri reali, è facile verificare che sia sempre così. Ad esempio, utilizzando i valori a = 2, b = 3, c = 1, abbiamo:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

I numeri reali soddisfano la proprietà associativa sia dell'addizione che della moltiplicazione. D'altra parte, in un altro insieme, come quello dei vettori, la somma è associativa, ma il prodotto incrociato o il prodotto vettoriale non lo è.

Applicazioni della proprietà associativa della moltiplicazione

Un vantaggio delle operazioni in cui si adempie la proprietà associativa è quello di poter raggruppare nel modo più conveniente. Ciò rende la risoluzione molto più semplice.

Ad esempio, supponiamo che in una piccola libreria ci siano 3 ripiani con 5 ripiani ciascuno. In ogni scaffale ci sono 8 libri. Quanti libri ci sono in tutto?

Possiamo eseguire l'operazione in questo modo: totale libri = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 libri.

Oppure in questo modo: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 libri.

Figura 2. Un'applicazione della proprietà associativa della moltiplicazione è calcolare il numero di libri su ogni scaffale. Immagine realizzata da F. Zapata.

Esempi

-In insiemi di numeri naturali, interi, razionali, reali e complessi, le proprietà associative di addizione e moltiplicazione sono soddisfatte.

Figura 3. Per i numeri reali, la proprietà associativa dell'addizione è soddisfatta. Fonte: Wikimedia Commons.

-Per i polinomi si applicano anche a queste operazioni.

-Nel caso di operazioni di sottrazione, divisione ed esponenziazione, la proprietà associativa non vale per numeri reali o polinomi.

-Nel caso delle matrici, la proprietà associativa è soddisfatta per l'addizione e la moltiplicazione, sebbene in quest'ultimo caso la commutatività non sia soddisfatta. Ciò significa che, date le matrici A, B e C, è vero che:

(A x B) x C = A x (B x C)

Ma … A x B ≠ B x A

La proprietà associativa nei vettori

I vettori formano un insieme diverso rispetto ai numeri reali o ai numeri complessi. Le operazioni definite per l'insieme di vettori sono alquanto diverse: ci sono addizioni, sottrazioni e tre tipi di prodotti.

La somma dei vettori soddisfa la proprietà associativa, così come i numeri, i polinomi e le matrici. Per quanto riguarda i prodotti scalari, scalare per vettore e croce che si compongono tra vettori, quest'ultimo non lo soddisfa, ma il prodotto scalare, che è un altro tipo di operazione tra vettori, lo soddisfa, tenendo conto di quanto segue:

-Il prodotto di uno scalare e di un vettore risulta in un vettore.

-E quando si moltiplica scalare due vettori, risulta uno scalare.

Pertanto, dati i vettori v , u e w, e inoltre uno scalare λ, è possibile scrivere:

- Somma di vettori: v + ( u + w ) = ( v + u) + w

-Prodotto scalare: λ ( v • u ) = (λ v ) • u

Quest'ultimo è possibile grazie al fatto che v • u è uno scalare e λ v è un vettore.

Però:

v × ( u × w ) ≠ ( v × u) × w

Fattorizzazione di polinomi mediante raggruppamento di termini

Questa applicazione è molto interessante, perché come si diceva prima, la proprietà associativa aiuta a risolvere alcuni problemi. La somma dei monomi è associativa e può essere utilizzata per la fattorizzazione quando un ovvio fattore comune non appare a prima vista.

Ad esempio, supponiamo che ti venga chiesto di fattorizzare: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Questo polinomio non ha un fattore comune, ma vediamo cosa succede se è raggruppato in questo modo:

La prima parentesi ha un fattore comune di ax ² :

Nella seconda il fattore comune è 3:

esercizi

- Esercizio 1

Un edificio scolastico ha 4 piani e ognuna ha 12 aule con 30 banchi all'interno. Quanti banchi ha in totale la scuola?

Soluzione

Questo problema viene risolto applicando la proprietà associativa della moltiplicazione, vediamo:

Numero totale di banchi = 4 piani x 12 aule / piano x 30 banchi / aula = (4 x 12) x 30 banchi = 48 x 30 = 1440 banchi.

Oppure se preferisci: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 scrivanie

- Esercizio 2

Dati i polinomi:

A (x) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8x ² + 3x -7

Applicare la proprietà associativa dell'addizione per trovare A (x) + B (x) + C (x).

Soluzione

Puoi raggruppare i primi due e aggiungere il terzo al risultato:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Immediatamente viene aggiunto il polinomio C (x):

+ = x ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Il lettore può verificare che il risultato è identico se viene risolto dall'opzione A (x) +.

Riferimenti

1. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
2. La matematica è divertente, leggi commutative, associative e distributive. Estratto da: mathisfun.com.
3. Magazzino di matematica. Definizione di proprietà associativa. Estratto da: mathwarehouse.com.
4. Sciencing. Proprietà associativa e commutativa di addizione e moltiplicazione (con esempi). Estratto da: sciencing.com.
5. Wikipedia. Proprietà associativa. Estratto da: en.wikipedia.org.