- Prodotti ed esempi notevoli
- Binomiale al quadrato
- Prodotto di binomi coniugati
- Prodotto di due binomi con un termine comune
- Polinomio quadrato
- Binomiale cubo
- Cubo di un trinomio
- Risolti esercizi di prodotti notevoli
- Esercizio 1
- Soluzione
- Esercizio 2
- Soluzione
- Riferimenti
I prodotti notevoli sono operazioni algebriche, dove si esprimono moltiplicazioni di polinomi, che non hanno bisogno di essere risolte tradizionalmente, ma con l'aiuto di alcune regole si possono trovare i risultati delle stesse.
I polinomi vengono moltiplicati per sì, quindi è possibile che abbiano un numero elevato di termini e variabili. Per rendere il processo più breve, vengono utilizzate le regole di prodotto notevoli, che consentono la moltiplicazione senza dover andare termine per termine.
Prodotti ed esempi notevoli
Ogni prodotto degno di nota è una formula che risulta da una fattorizzazione, composta da polinomi di diversi termini, come binomi o trinomi, chiamati fattori.
I fattori sono la base di una potenza e hanno un esponente. Quando i fattori vengono moltiplicati, devono essere aggiunti gli esponenti.
Esistono diverse formule di prodotto notevoli, alcune sono più utilizzate di altre, a seconda dei polinomi, e sono le seguenti:
Binomiale al quadrato
È la moltiplicazione di un binomio a sé stante, espresso come potenza, dove i termini vengono sommati o sottratti:
per. Binomio somma quadrata: è uguale al quadrato del primo termine, più il doppio del prodotto dei termini, più il quadrato del secondo termine. È espresso come segue:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
Nella figura seguente è possibile vedere come si sviluppa il prodotto secondo la regola citata. Il risultato è chiamato trinomio di un quadrato perfetto.
Esempio 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Esempio 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2 .
b. Binomiale di una sottrazione al quadrato: vale la stessa regola del binomio di una somma, solo in questo caso il secondo termine è negativo. La sua formula è la seguente:
(a - b) 2 = 2
(a - b) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 .
Esempio 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36.
Prodotto di binomi coniugati
Due binomi sono coniugati quando i secondi termini di ciascuno hanno segni diversi, cioè il primo è positivo e il secondo negativo o viceversa. Si risolve quadrando ogni monomio e sottraendo. La sua formula è la seguente:
(a + b) * (a - b)
Nella figura seguente si sviluppa il prodotto di due binomi coniugati, dove si osserva che il risultato è una differenza di quadrati.
Esempio 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2 )
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2 .
Prodotto di due binomi con un termine comune
È uno dei prodotti degni di nota più complessi e raramente utilizzati perché è una moltiplicazione di due binomi che hanno un termine comune. La regola afferma quanto segue:
- Il quadrato del termine comune.
- Più la somma dei termini che non sono comuni e poi moltiplicali per il termine comune.
- Più la somma della moltiplicazione dei termini che non sono comuni.
È rappresentato nella formula: (x + a) * (x + b) ed è sviluppato come mostrato nell'immagine. Il risultato è un trinomio quadrato non perfetto.
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54.
C'è la possibilità che il secondo termine (il termine diverso) sia negativo e la sua formula sia la seguente: (x + a) * (x - b).
Esempio 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8.
Può anche accadere che entrambi i termini diversi siano negativi. La sua formula sarà: (x - a) * (x - b).
Esempio 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 - 33b + 30.
Polinomio quadrato
In questo caso ci sono più di due termini e per svilupparlo, ciascuno viene quadrato e sommato con il doppio della moltiplicazione di un termine con l'altro; la sua formula è: (a + b + c) 2 e il risultato dell'operazione è un trinomio quadrato.
Esempio 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Binomiale cubo
È un prodotto notevolmente complesso. Per svilupparlo, il binomio viene moltiplicato per il suo quadrato, come segue:
per. Per il binomio cubo di una somma:
- Il cubo del primo termine, più il triplo del quadrato del primo termine per il secondo.
- Più il triplo del primo termine, moltiplicato per il secondo al quadrato.
- Più il cubo del secondo mandato.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2 )
(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .
Esempio 1
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27.
b. Per il binomio cubo di una sottrazione:
- Il cubo del primo termine, meno tre volte il quadrato del primo termine per il secondo.
- Più il triplo del primo termine, moltiplicato per il secondo al quadrato.
- Meno il cubo del secondo termine.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2 )
(a - b) 3 = a 3 - 2a 2 b + ab 2 - ba 2 + 2ab 2 - b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 .
Esempio 2
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b 3 - 15b 2 + 75b - 125.
Cubo di un trinomio
Si sviluppa moltiplicandolo per il suo quadrato. È un prodotto notevole molto ampio perché hai 3 termini al cubo, più tre volte ogni termine al quadrato, moltiplicato per ciascuno dei termini, più sei volte il prodotto dei tre termini. Visto in modo migliore:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.
Esempio 1
Risolti esercizi di prodotti notevoli
Esercizio 1
Espandere il seguente binomio cubo: (4x - 6) 3 .
Soluzione
Ricordando che un binomio cubo è uguale al primo termine cubo, meno il triplo del quadrato del primo termine per il secondo; più il triplo del primo termine, moltiplicato per il secondo al quadrato, meno il cubo del secondo termine.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2 ) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36.
Esercizio 2
Sviluppa il seguente binomio: (x + 3) (x + 8).
Soluzione
C'è un binomio dove c'è un termine comune, che è x e il secondo termine è positivo. Per svilupparlo, devi solo quadrare il termine comune, più la somma dei termini non comuni (3 e 8) e poi moltiplicarli per il termine comune, più la somma della moltiplicazione dei termini non comuni.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24.
Riferimenti
- Angelo, AR (2007). Algebra elementare. Pearson Education,.
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra e trigonometria con geometria analitica. Pearson Education.
- Das, S. (nd). Maths Plus 8. Regno Unito: Ratna Sagar.
- Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Algebra elementare e intermedia: un approccio combinato. Florida: Cengage Learning.
- Pérez, CD (2010). Pearson Education.