PROCESSO POLITROPICO: CARATTERISTICHE, APPLICAZIONI ED ESEMPI - FISICO - 2024

Un processo politropico è un processo termodinamico che si verifica quando la relazione tra pressione P e volume V data da PV ⁿ è mantenuta costante. L'esponente n è un numero reale, generalmente compreso tra zero e infinito, ma in alcuni casi può essere negativo.

Il valore di n è chiamato indice di politropia ed è importante notare che durante un processo termodinamico politropico, detto indice deve mantenere un valore fisso, altrimenti il ​​processo non sarà considerato politropico.

Figura 1. Equazione caratteristica di un processo termodinamico politropico. Fonte: F. Zapata.

Caratteristiche dei processi politropici

Alcuni casi caratteristici di processi politropici sono:

- Il processo isotermico (a temperatura T costante), in cui l'esponente è n = 1.

- Un processo isobarico (a pressione costante P), in questo caso n = 0.

- Il processo isocoro (a volume V costante), per il quale n = + ∞.

- Processi adiabatici (a entropia S costante), in cui l'esponente è n = γ, dove γ è la costante adiabatica. Questa costante è il quoziente tra la capacità termica a pressione costante Cp divisa per la capacità termica a volume costante Cv:

γ = Cp / Cv

- Qualsiasi altro processo termodinamico che non sia uno dei casi precedenti. ma che incontra PV ⁿ = ctte con un indice politropico reale e costante n sarà anche un processo politropico.

Figura 2. Diversi casi caratteristici di processi termodinamici politropici. Fonte: Wikimedia Commons.

applicazioni

Una delle principali applicazioni dell'equazione politropica è calcolare il lavoro svolto da un sistema termodinamico chiuso, quando passa da uno stato iniziale a uno stato finale in modo quasi statico, cioè seguendo una successione di stati di equilibrio.

Lavorare su processi politropici per diversi valori di n

Per n ≠ 1

Il lavoro meccanico W eseguito da un sistema termodinamico chiuso viene calcolato dall'espressione:

W = ∫P.dV

Dove P è la pressione e V è il volume.

Come nel caso di un processo politropico, la relazione tra pressione e volume è:

Abbiamo il lavoro meccanico svolto durante un processo politropico, che inizia in uno stato iniziale 1 e termina nello stato finale 2. Tutto questo appare nella seguente espressione:

C = P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ

Sostituendo il valore della costante nell'espressione di lavoro, si ottiene:

W = (P ₂ V ₂ - P ₁ V ₁ ) / (1-n)

Nel caso in cui la sostanza di lavoro possa essere modellata come un gas ideale, abbiamo la seguente equazione di stato:

PV = mRT

Dove m è il numero di moli del gas ideale e R è la costante universale dei gas.

Per un gas ideale che segue un processo politropico con indice di politropia diverso dall'unità e che passa da uno stato con temperatura iniziale T ₁ ad un altro stato con temperatura T ₂ , il lavoro svolto è dato dalla seguente formula:

W = m R (T ₂ - T ₁ ) / (1-n)

Per n → ∞

Secondo la formula per il lavoro ottenuto nella sezione precedente, il lavoro di un processo politropico con n = ∞ è nullo, perché l'espressione di lavoro è divisa per infinito e quindi il risultato tende a zero .

Un altro modo per arrivare a questo risultato è partire dalla relazione P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ , che può essere riscritta come segue:

(P ₁ / P ₂ ) = (V ₂ / V1) ⁿ

Prendendo l'ennesima radice in ogni membro, otteniamo:

(V ₂ / V1) = (P ₁ / P ₂ ) ^{(1 / n)}

Nel caso in cui n → ∞, abbiamo (V ₂ / V1) = 1, il che significa che:

V ₂ = V ₁

Cioè, il volume non cambia in un processo politropico con n → ∞. Pertanto, il differenziale di volume dV nell'integrale del lavoro meccanico è 0. Questo tipo di processi politropici sono anche noti come processi isocorici o processi a volume costante.

Per n = 1

Di nuovo abbiamo l'espressione l'espressione per lavoro:

W = ∫P dV

Nel caso di un processo politropico con n = 1, la relazione tra pressione e volume è:

PV = costante = C

Risolvendo P dall'espressione precedente e sostituendo, abbiamo il lavoro fatto per passare dallo stato iniziale 1 allo stato finale 2:

Vale a dire:

W = C ln (V ₂ / V ₁ ).

Poiché gli stati iniziale e finale sono ben determinati, così sarà il ctte. Vale a dire:

C = P ₁ V ₁ = P ₂ V ₂

Infine, abbiamo le seguenti espressioni utili per trovare il lavoro meccanico di un sistema politropico chiuso in cui n = 1.

W = P ₁ V ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = P ₂ V ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

Se la sostanza di lavoro è costituita da m moli di gas ideale, è possibile applicare l'equazione di stato del gas ideale: PV = mRT

In questo caso, poiché PV ₁ = ctte, abbiamo che un processo politropico con n = 1 è un processo a temperatura costante T (isotermica), per cui si possono ottenere le seguenti espressioni per il lavoro:

W = m RT ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = m RT ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

Figura 3. Un ghiacciolo che si scioglie, esempio di un processo isotermico. Fonte: Pixabay.

Esempi di processi politropici

- Esempio 1

Supponiamo un cilindro con un pistone mobile riempito con un chilogrammo di aria. Inizialmente l'aria occupa un volume V ₁ = 0,2 m ³ ad una pressione P ₁ = 400 kPa. Si segue un processo politropico con n = γ = 1.4, il cui stato finale ha pressione P ₂ = 100 kPa. Determina il lavoro svolto dall'aria sul pistone.

Soluzione

Quando l'indice di politropia è uguale alla costante adiabatica, c'è un processo in cui la sostanza di lavoro (aria) non scambia calore con l'ambiente, e quindi anche l'entropia non cambia.

Per l'aria, un gas ideale biatomico, abbiamo:

γ = Cp / Cv, con Cp = (7/2) R e Cv = (5/2) R

Così:

γ = 7/5 = 1,4

Utilizzando l'espressione del processo politropico, è possibile determinare il volume finale dell'aria:

V ₂ = ^{(1 / 1,4)} = 0,54 m ³ .

Ora abbiamo le condizioni per applicare la formula del lavoro svolto in un processo politropico per n ≠ 1 ottenuta sopra:

W = (P ₂ V ₂ - P1 V1) / (1-n)

Sostituendo i valori appropriati abbiamo:

= W (100 kPa 0,54 m ³ - 400 kPa 0,2 m ³ ) / (1 - 1.4) = 65,4 kJ

- Esempio 2

Supponiamo lo stesso cilindro dell'esempio 1, con un pistone mobile riempito con un chilogrammo di aria. Inizialmente l'aria occupa un volume V1 = 0,2 m ³ ad una pressione P1 = 400 kPa. Ma a differenza del caso precedente, l'aria si espande isotermicamente per raggiungere una pressione finale P2 = 100 kPa. Determina il lavoro svolto dall'aria sul pistone.

Soluzione

Come visto in precedenza, i processi isotermici sono processi politropici con indice n = 1, quindi è vero che:

P1 V1 = P2 V2

In questo modo il volume finale può essere facilmente staccato per ottenere:

V2 = 0,8 m ³

Quindi, utilizzando l'espressione di lavoro ottenuta in precedenza per il caso n = 1, abbiamo che il lavoro svolto dall'aria sul pistone in questo processo è:

W = P1 V1 ln (V2 / V1) = 400000 Pa × 0,2 m ³ ln (0,8 / 0,2) = 110,9 kJ.

Riferimenti

1. Bauer, W. 2011. Fisica per l'ingegneria e le scienze. Volume 1. Mc Graw Hill.
2. Cengel, Y. 2012. Termodinamica. 7a edizione. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Serie: Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 4. Fluidi e termodinamica. A cura di Douglas Figueroa (USB).
4. López, C. La prima legge della termodinamica. Estratto da: culturacientifica.com.
5. Knight, R. 2017. Physics for Scientists and Engineering: a Strategy Approach. Pearson.
6. Serway, R., Vulle, C. 2011. Fondamenti di fisica. 9 ° Ed. Cengage Learning.
7. Università di Siviglia. Macchine termiche. Recupero da: laplace.us.es.
8. Wikiwand. Processo politropico. Estratto da: wikiwand.com.