PROBABILITÀ DI FREQUENZA: CONCETTO, COME SI CALCOLA ED ESEMPI - MATEMATICA - 2024

La probabilità di frequenza è una sotto-definizione all'interno dello studio della probabilità e dei suoi fenomeni. Il suo metodo di studio rispetto ad eventi e attributi si basa su grandi quantità di iterazioni, osservando così l'andamento di ognuna a lungo termine o addirittura infinite ripetizioni.

Ad esempio, una busta di caramelle gommose contiene 5 gomme da cancellare di ogni colore: blu, rosso, verde e giallo. Vogliamo determinare la probabilità che ogni colore esca dopo una selezione casuale.

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È noioso immaginare di estrarre una gomma, registrarla, restituirla, estrarre una gomma e ripetere la stessa cosa diverse centinaia o diverse migliaia di volte. Potresti anche voler osservare il comportamento dopo diversi milioni di iterazioni.

Ma al contrario, è interessante scoprire che dopo poche ripetizioni la probabilità attesa del 25% non è pienamente soddisfatta, almeno non per tutti i colori dopo che si sono verificate 100 iterazioni.

Sotto l'approccio della probabilità di frequenza, l'assegnazione dei valori avverrà solo attraverso lo studio di molte iterazioni. In questo modo il processo dovrebbe essere eseguito e registrato preferibilmente in modo computerizzato o emulato.

Correnti multiple rifiutano la probabilità di frequenza, sostenendo la mancanza di empirismo e affidabilità nei criteri di casualità.

Come viene calcolata la probabilità di frequenza?

Programmando l'esperimento in una qualsiasi interfaccia in grado di offrire un'iterazione puramente casuale, si può iniziare a studiare la probabilità di frequenza del fenomeno utilizzando una tabella di valori.

L'esempio precedente può essere visto dall'approccio di frequenza:

Il dato numerico corrisponde all'espressione:

N (a) = Numero di occorrenze / Numero di iterazioni

Dove N (a) rappresenta la frequenza relativa dell'evento "a"

"A" appartiene all'insieme dei possibili risultati o spazio campionario Ω

Ω: {rosso, verde, blu, giallo}

Si apprezza una notevole dispersione nelle prime iterazioni, quando si osservano frequenze con differenze fino al 30% tra loro, che è un dato molto alto per un esperimento che teoricamente ha eventi con la stessa possibilità (Equiprobable).

Ma al crescere delle iterazioni, i valori sembrano adeguarsi sempre di più a quelli presentati dalla corrente teorica e logica.

Legge dei grandi numeri

Come un accordo inaspettato tra l'approccio teorico e quello della frequenza, sorge la legge dei grandi numeri. Dove è stabilito che dopo un numero considerevole di iterazioni, i valori dell'esperimento di frequenza si stanno avvicinando ai valori teorici.

Nell'esempio, puoi vedere come i valori si avvicinano a 0,250 man mano che le iterazioni crescono. Questo fenomeno è elementare nelle conclusioni di molti lavori probabilistici.

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Altri approcci alla probabilità

Ci sono altre 2 teorie o approcci alla nozione di probabilità oltre alla probabilità di frequenza .

Teoria logica

Il suo approccio è orientato alla logica deduttiva dei fenomeni. Nell'esempio precedente la probabilità di ottenere ogni colore è del 25% in modo chiuso. In altre parole, le loro definizioni e assiomi non contemplano ritardi al di fuori della loro gamma di dati probabilistici.

Teoria soggettiva

Si basa sulla conoscenza e sulle convinzioni precedenti che ogni individuo ha sui fenomeni e sugli attributi. Affermazioni come "Piove sempre a Pasqua" sono dovute a uno schema di eventi simili che si sono verificati in precedenza.

Storia

Gli inizi della sua attuazione risalgono al XIX secolo, quando Venn lo citò in molte delle sue opere a Cambridge, in Inghilterra. Ma non è stato fino al ventesimo secolo che 2 matematici statistici hanno sviluppato e modellato la probabilità di frequenza.

Uno di loro era Hans Reichenbach, che sviluppa il suo lavoro in pubblicazioni come "The Theory of Probability" pubblicata nel 1949.

L'altro era Richard Von Mises, che sviluppò ulteriormente il suo lavoro attraverso più pubblicazioni e propose di considerare la probabilità come una scienza matematica. Questo concetto era nuovo per la matematica e avrebbe inaugurato un'era di crescita nello studio della probabilità di frequenza .

In realtà, questo evento segna l'unica differenza con i contributi della generazione di Venn, Cournot e Helm. Dove la probabilità diventa omologa a scienze come la geometria e la meccanica.

<La teoria della probabilità si occupa di fenomeni massicci ed eventi ripetitivi . Problemi in cui o lo stesso evento si ripete più e più volte o sono coinvolti un gran numero di elementi uniformi contemporaneamente> Richard Von Mises

Fenomeni di massa ed eventi ripetitivi

Si possono classificare tre tipi:

• Fisico: obbediscono ai modelli della natura al di là di una condizione di casualità. Ad esempio il comportamento delle molecole di un elemento in un campione.
• Possibilità: la tua considerazione principale è la casualità, come tirare ripetutamente un dado.
• Statistica biologica: selezione dei soggetti del test in base alle loro caratteristiche e attributi.

In teoria, l'individuo che misura gioca un ruolo nei dati probabilistici, perché sono le loro conoscenze ed esperienze che articolano questo valore o previsione.

Nella probabilità di frequenza , gli eventi saranno considerati come raccolte da trattare, dove l'individuo non ha alcun ruolo nella stima.

Attributi

In ogni elemento è presente un attributo, che sarà variabile in base alla sua natura. Ad esempio, nel tipo di fenomeno fisico, le molecole d'acqua avranno velocità diverse.

Nel tirare i dadi conosciamo lo spazio campionario Ω che rappresenta gli attributi dell'esperimento.

Ω: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ci sono altri attributi come essere pari Ω _P o essere dispari Ω _I

Ω _p : {2, 4, 6}

Ω _I : {1, 3, 5}

Che possono essere definiti come attributi non elementari.

Esempio

• Vogliamo calcolare la frequenza di ogni possibile somma nel lancio di due dadi.

Per questo, viene programmato un esperimento in cui vengono aggiunte due sorgenti di valori casuali in ciascuna iterazione.

I dati vengono registrati in una tabella e vengono studiate le tendenze in gran numero.

Si osserva che i risultati possono variare notevolmente tra le iterazioni. Tuttavia, la legge dei grandi numeri può essere vista nell'apparente convergenza presentata nelle ultime due colonne.

Riferimenti

1. Statistiche e valutazione delle prove per scienziati forensi. Seconda edizione. Colin GG Aitken. Scuola di Matematica. L'Università di Edimburgo, Regno Unito
2. Matematica per l'informatica. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leighton Department of Mathematics and the Computer Science and AI Laboratory, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies
3. The Arithmetic Teacher, Volume 29. National Council of Teachers of Mathematics, 1981. Università del Michigan.
4. Apprendimento e insegnamento della teoria dei numeri: ricerca in cognizione e istruzione / a cura di Stephen R. Campbell e Rina Zazkis. Pubblicazione di Ablex 88 Post Road West, Westport CT 06881
5. Bernoulli, J. (1987). Ars Conjectandi- 4ème partie. Rouen: IREM.