PRINCIPIO MOLTIPLICATIVO: TECNICHE DI CONTEGGIO ED ESEMPI - MATEMATICA - 2024

Il principio moltiplicativo è una tecnica utilizzata per risolvere problemi di conteggio per trovare la soluzione senza dover elencare i suoi elementi. È anche conosciuto come il principio fondamentale dell'analisi combinatoria; si basa su moltiplicazioni successive per determinare come può verificarsi un evento.

Questo principio afferma che, se una decisione (d ₁ ) può essere presa in n modi e un'altra decisione (d ₂ ) può essere presa in m modi, il numero totale di modi in cui possono essere prese le decisioni d ₁ ed ₂ sarà uguale moltiplicare da n _* m. Secondo il principio, ogni decisione viene presa una dopo l'altra: numero di vie = N _{1 *} N ₂ … _* N _x vie.

Esempi

Esempio 1

Paula ha intenzione di andare al cinema con le sue amiche e per scegliere i vestiti che indosserà, separo 3 camicette e 2 gonne. In quanti modi Paula può vestirsi?

Soluzione

In questo caso, Paula deve prendere due decisioni:

d ₁ = Scegli tra 3 camicette = n

d ₂ = Scegli tra 2 gonne = m

In questo modo Paula ha n _* m decisioni da prendere o diversi modi di vestirsi.

n _* m = 3 _* 2 = 6 decisioni.

Il principio moltiplicativo nasce dalla tecnica del diagramma ad albero, che è un diagramma che mette in relazione tutti i risultati possibili, in modo che ciascuno possa ricorrere un numero finito di volte.

Esempio 2

Mario aveva molta sete, quindi è andato al panificio a comprare il succo. Luis si prende cura di lui e gli dice che è disponibile in due misure: grande e piccola; e quattro gusti: mela, arancia, limone e uva. In quanti modi Mario può scegliere il succo?

Soluzione

Nel diagramma si può vedere che Mario ha 8 diversi modi per scegliere il succo e che, come nel principio moltiplicativo, questo risultato si ottiene moltiplicando n _* m. L'unica differenza è che attraverso questo diagramma puoi vedere come sono i modi in cui Mario sceglie il succo.

D'altra parte, quando il numero di risultati possibili è molto elevato, è più pratico utilizzare il principio moltiplicativo.

Tecniche di conteggio

Le tecniche di conteggio sono metodi usati per fare un conteggio diretto e quindi conoscere il numero di possibili arrangiamenti che possono avere gli elementi di un dato insieme. Queste tecniche si basano su diversi principi:

Principio di addizione

Questo principio afferma che, se due eventi m e n non possono verificarsi contemporaneamente, il numero di modi in cui può verificarsi il primo o il secondo evento sarà la somma di m + n:

Numero di forme = m + n… + x diverse forme.

Esempio

Antonio vuole fare un viaggio ma non decide quale destinazione; presso la Southern Tourism Agency ti offrono una promozione per viaggiare a New York o Las Vegas, mentre la Eastern Tourism Agency consiglia di viaggiare in Francia, Italia o Spagna. Quante diverse alternative di viaggio ti offre Antonio?

Soluzione

Con la Southern Tourism Agency Antonio ha 2 alternative (New York o Las Vegas), mentre con la Eastern Tourism Agency hai 3 opzioni (Francia, Italia o Spagna). Il numero di diverse alternative è:

Numero di alternative = m + n = 2 + 3 = 5 alternative.

Principio di permutazione

Si tratta di ordinare specificamente tutti o alcuni degli elementi che compongono un set, per facilitare il conteggio di tutte le possibili disposizioni che possono essere fatte con gli elementi.

Il numero di permutazioni di n elementi diversi, presi tutti in una volta, è rappresentato come:

_n P _n = n!

Esempio

Quattro amici vogliono scattare una foto e vogliono sapere in quanti modi diversi possono essere organizzati.

Soluzione

Vuoi conoscere l'insieme di tutti i modi possibili in cui le 4 persone possono essere posizionate per scattare la foto. Quindi, devi:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 forme diverse.

Se il numero di permutazioni di n elementi disponibili è preso da parti di un insieme costituito da r elementi, è rappresentato come:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Esempio

In un'aula ci sono 10 posti a sedere. Se 4 studenti frequentano la classe, in quanti modi diversi gli studenti possono ricoprire le posizioni?

Soluzione

Abbiamo che il numero totale del set di sedie è 10, e di questi ne verranno utilizzati solo 4. La formula data viene applicata per determinare il numero di permutazioni:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 modi per riempire le posizioni.

Ci sono casi in cui alcuni degli elementi disponibili di un set si ripetono (sono gli stessi). Per calcolare il numero di array che prendono tutti gli elementi contemporaneamente, viene utilizzata la seguente formula:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ ! … n _r !

Esempio

Quante diverse parole di quattro lettere possono essere formate dalla parola "lupo"?

Soluzione

In questo caso ci sono 4 elementi (lettere) di cui due sono esattamente uguali. Applicando la formula data, si sa quante parole diverse risultano:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ ! … n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 diverse parole.

Principio di combinazione

Si tratta di disporre tutti o alcuni degli elementi che compongono un set senza un ordine specifico. Ad esempio, se hai un arrangiamento XYZ, sarà identico agli arrangiamenti ZXY, YZX, ZYX, tra gli altri; questo perché, nonostante non siano nello stesso ordine, gli elementi di ogni arrangiamento sono gli stessi.

Quando alcuni elementi (r) sono presi dall'insieme (n), il principio di combinazione è dato dalla seguente formula:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

Esempio

In un negozio vendono 5 diversi tipi di cioccolato. In quanti modi diversi possono essere scelti 4 cioccolatini?

Soluzione

In questo caso, è necessario scegliere 4 cioccolatini tra i 5 tipi che vendono nel negozio. L'ordine in cui vengono scelti non ha importanza e, inoltre, un tipo di cioccolato può essere scelto più di due volte. Applicando la formula, devi:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 modi diversi per scegliere 4 cioccolatini.

Quando tutti gli elementi (r) dell'insieme (n) sono presi, il principio di combinazione è dato dalla seguente formula:

_n C _{n =} n!

Esercizi risolti

Esercizio 1

C'è una squadra di baseball con 14 membri. In quanti modi possono essere assegnate 5 posizioni per un gioco?

Soluzione

Il set è composto da 14 elementi e si desidera assegnare 5 posizioni specifiche; cioè, l'ordine conta. La formula di permutazione viene applicata dove n elementi disponibili sono presi da parti di un insieme formato da r.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Dove n = 14 e r = 5. Viene sostituito nella formula:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 modi per assegnare le 9 posizioni di gioco.

Esercizio 2

Se una famiglia di 9 persone fa un viaggio e acquista i biglietti con posti consecutivi, in quanti modi diversi può sedersi?

Soluzione

Si tratta di circa 9 elementi che occuperanno 9 posti consecutivi.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362880 diversi modi di sedersi.

Riferimenti

1. Hopkins, B. (2009). Risorse per l'insegnamento della matematica discreta: progetti in aula, moduli di storia e articoli.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Matematica discreta. Pearson Education,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Risolutore di problemi matematici finiti e discreti. Redattori della Research & Education Association.
4. Padró, FC (2001). Matematica discreta. Politèc. di Catalunya.
5. Steiner, E. (2005). Matematica per le scienze applicate. Reverte.