PRINCIPIO DI ARCHIMEDE: FORMULA, DIMOSTRAZIONE, APPLICAZIONI - FISICO - 2024

Il principio di Archimede afferma che un corpo immerso in tutto o in parte riceve una forza verticale verso l'alto chiamata spinta, che è equivalente al peso del volume di liquido spostato dal corpo.

Alcuni oggetti galleggiano nell'acqua, altri affondano e altri parzialmente sommersi. Per affondare un pallone da spiaggia è necessario fare uno sforzo, perché immediatamente si percepisce quella forza che cerca di riportarlo in superficie. Invece una sfera di metallo affonda rapidamente.

Figura 1. Palloncini galleggianti: il principio di Archimede in azione. Fonte: Pixabay.

D'altra parte, gli oggetti sommersi sembrano più leggeri, quindi c'è una forza esercitata dal fluido che si oppone al peso. Ma non può sempre compensare completamente la gravità. E, sebbene sia più evidente con l'acqua, i gas sono anche in grado di produrre questa forza sugli oggetti immersi in essi.

Storia

Archimede di Siracusa (287-212 a.C.) fu colui che deve aver scoperto questo principio, essendo uno dei più grandi scienziati della storia. Si dice che il re Gerone II di Siracusa ordinò a un orafo di fargli una nuova corona, per la quale gli diede una certa quantità d'oro.

Archimedes

Quando il re ricevette la nuova corona, era il peso corretto, ma sospettava che l'orafo lo avesse ingannato aggiungendo argento anziché oro. Come poteva provarlo senza distruggere la corona?

Hiero chiamò Archimede, la cui reputazione di studioso era ben nota, per aiutarlo a risolvere il problema. La leggenda vuole che Archimede fosse immerso nella vasca da bagno quando trovò la risposta e, tale fu la sua emozione, che corse nudo per le strade di Siracusa alla ricerca del re, gridando "eureka", che significa "l'ho trovato".

Cosa ha trovato Archimede? Ebbene, quando si fa il bagno, il livello dell'acqua nella vasca da bagno è salito quando è entrato, il che significa che un corpo sommerso sposta un certo volume di liquido.

E se immergeva la corona nell'acqua, anche questa doveva spostare un certo volume d'acqua se la corona era d'oro e uno diverso se era fatta di lega con argento.

Formula

La forza di sollevamento a cui fa riferimento il principio di Archimede è nota come spinta idrostatica o forza di galleggiamento e, come abbiamo detto, è equivalente al peso del volume di fluido spostato dal corpo quando immerso.

Il volume spostato è uguale al volume dell'oggetto che è sommerso, totalmente o parzialmente. Poiché il peso di qualsiasi cosa è mg e la massa del fluido è densità x volume, che denota l'entità della spinta come B, matematicamente abbiamo:

B = m _fluido xg = densità del fluido x volume sommerso x gravità

B = ρ _fluido x V _sommerso xg

Dove la lettera greca ρ ("rho") denota densità.

Peso apparente

Il peso degli oggetti viene calcolato usando la familiare espressione mg, tuttavia le cose sembrano più leggere quando sono immerse nell'acqua.

Il peso apparente di un oggetto è quello che ha quando è immerso nell'acqua o in un altro liquido e conoscendolo si può ricavare il volume di un oggetto irregolare come la corona di Re Gerone, come si vedrà di seguito.

Per fare questo, è completamente immerso nell'acqua e attaccato a una corda attaccata a un dinamometro, uno strumento dotato di una molla utilizzata per misurare le forze. Maggiore è il peso dell'oggetto, maggiore è l'allungamento della molla, che viene misurato su una scala fornita nell'apparato.

Figura 2. Peso apparente di un oggetto sommerso. Fonte: preparato da F. Zapata.

Applicando la seconda legge di Newton sapendo che l'oggetto è a riposo:

ΣF _y = B + T - W = 0

Il peso apparente W _{a è} uguale alla tensione nella corda T:

Poiché la spinta compensa il peso, poiché la porzione di fluido è a riposo, allora:

Da questa espressione segue che la spinta è dovuta alla differenza di pressione tra la faccia superiore del cilindro e la faccia inferiore. Poiché W = mg = ρ fluido. V. g, deve:

Che è proprio l'espressione della spinta citata nella sezione precedente.

applicazioni

Il principio di Archimede appare in molte applicazioni pratiche, tra le quali possiamo citare:

- Il pallone aerostatico. La quale, per la sua densità media inferiore a quella dell'aria circostante, vi galleggia per la forza di spinta.

- Le navi. Lo scafo delle navi è più pesante dell'acqua. Ma se si considera l'intero scafo più l'aria all'interno, il rapporto tra la massa totale e il volume è inferiore a quello dell'acqua e questo è il motivo per cui le navi galleggiano.

- Giubbotti di salvataggio. Essendo costruiti con materiali leggeri e porosi, sono in grado di galleggiare perché il rapporto massa-volume è inferiore a quello dell'acqua.

- Il galleggiante per chiudere il rubinetto di riempimento di un serbatoio d'acqua. È una sfera piena d'aria di grande volume che galleggia sull'acqua, che fa sì che la forza di spinta - moltiplicata per l'effetto leva - chiuda il tappo del rubinetto di riempimento di un serbatoio d'acqua quando ha raggiunto il livello. totale.

Esempi

Esempio 1

La leggenda narra che il re Hiero donò all'orafo una certa quantità di oro per fare una corona, ma il monarca diffidente pensò che l'orafo potesse aver imbrogliato inserendo un metallo meno prezioso dell'oro all'interno della corona. Ma come poteva saperlo senza distruggere la corona?

Il re affidò il problema ad Archimede e questo, cercando la soluzione, scoprì il suo famoso principio.

Supponiamo che la corona pesa 2,10 kg-f in aria e 1,95 kg-f quando è completamente immersa nell'acqua. In questo caso, c'è o non c'è inganno?

Figura 5. Diagramma a corpo libero della corona di King Heron. Fonte: preparato da F. Zapata

Il diagramma delle forze è mostrato nella figura sopra. Queste forze sono: il peso P della corona, la spinta E e la tensione T della fune appesa alla bilancia.

È noto P = 2,10 kg-f e T = 1,95 kg-f, resta da determinare l'entità della spinta E :

D'altra parte, secondo il principio di Archimede, la spinta E è equivalente al peso dell'acqua spostata dallo spazio occupato dalla corona, ovvero la densità dell'acqua moltiplicata per il volume della corona per l'accelerazione di gravità:

Da dove è possibile calcolare il volume della corona:

La densità della corona è il quoziente tra la massa della corona fuori dall'acqua e il suo volume:

La densità dell'oro puro può essere determinata con una procedura simile e il risultato è 19300 kg / m ^ 3.

Confrontando le due densità è evidente che la corona non è oro puro!

Esempio 2

Sulla base dei dati e del risultato dell'esempio 1, è possibile determinare quanto oro è stato rubato dall'orafo nel caso in cui quella parte dell'oro sia stata sostituita dall'argento, che ha una densità di 10.500 kg / m ^ 3.

Chiameremo la densità della corona ρc, ρo la densità dell'oro e ρ _p la densità dell'argento.

La massa totale della corona è:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅Vp

Il volume totale della corona è il volume dell'argento più il volume dell'oro:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

La sostituzione nell'equazione per la massa è:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ _p ) Vo = (ρc - ρ _p ) V

Cioè, il volume d'oro Vo che contiene la corona del volume totale V è:

Vo = V⋅ (ρc - ρ _p ) / (ρo - ρ _p ) =…

… = 0,00015 m ^ 3 (14000 - 10500) / (19300 - 10500) = 0,00005966 m ^ 3

Per trovare il peso in oro che contiene la corona, moltiplichiamo Vo per la densità dell'oro:

Mo = 19300 * 0,00005966 = 1,1514 kg

Poiché la massa della corona è di 2,10 kg, sappiamo che 0,94858 kg di oro sono stati rubati dall'orafo e sostituiti dall'argento.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Un enorme pallone ad elio è in grado di mantenere una persona in equilibrio (senza salire o scendere).

Supponiamo che il peso della persona, più il cestino, le corde e il pallone sia di 70 kg. Qual è il volume di elio necessario affinché ciò avvenga? Quanto dovrebbe essere grande il palloncino?

Soluzione

Assumeremo che la spinta sia prodotta principalmente dal volume di elio e che la spinta del resto dei componenti sia molto piccola rispetto a quella dell'elio che occupa molto più volume.

In questo caso sarà necessario un volume di elio in grado di fornire una spinta di 70 kg + il peso dell'elio.

Figura 6. Diagramma a corpo libero del palloncino riempito di elio. Fonte: preparato da F. Zapata.

La spinta è il prodotto del volume di elio per la densità dell'elio e l'accelerazione di gravità. Quella spinta deve compensare il peso dell'elio più il peso di tutto il resto.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

da cui si conclude che V = M / (Da - Dh)

V = 70 kg / (1,25 - 0,18) kg / m ^ 3 = 65,4 m ^ 3

Cioè, 65,4 m ^ 3 di elio sono necessari alla pressione atmosferica perché ci sia un sollevamento.

Se assumiamo un globo sferico, possiamo trovare il suo raggio dalla relazione tra il volume e il raggio di una sfera:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

Da dove R = 2,49 m. In altre parole, richiederà un palloncino di 5 m di diametro riempito di elio.

Esercizio 2

Materiali con una densità inferiore rispetto all'acqua galleggiano al suo interno. Supponi di avere polistirolo (sughero bianco), legno e cubetti di ghiaccio. Le loro densità in kg per metro cubo sono rispettivamente: 20, 450 e 915.

Trova quale frazione del volume totale è al di fuori dell'acqua e quanto è alta sopra la superficie dell'acqua, prendendo 1000 chilogrammi per metro cubo come densità di quest'ultima.

Soluzione

La galleggiabilità si verifica quando il peso del corpo è uguale alla spinta dovuta all'acqua:

E = M⋅g

Figura 7. Diagramma a corpo libero di un oggetto parzialmente sommerso. Fonte: preparato da F. Zapata.

Il peso è la densità del corpo Dc moltiplicata per il suo volume V e per l'accelerazione di gravità g.

La spinta è il peso del fluido spostato secondo il principio di Archimede e si calcola moltiplicando la densità D dell'acqua per il volume sommerso V 'e per l'accelerazione di gravità.

Questo è:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

Il che significa che la frazione di volume sommerso è uguale al quoziente tra la densità del corpo e la densità dell'acqua.

Cioè, la frazione di volume eccezionale (V '' / V) è

Se h è l'altezza della sporgenza e L il lato del cubo, la frazione di volume può essere scritta come

Quindi i risultati per i materiali ordinati sono:

Polistirolo (sughero bianco):

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98% fuori dall'acqua

Legna:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (450/1000) = 55% fuori dall'acqua

Ghiaccio:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (915/1000) = 8,5% fuori dall'acqua

Riferimenti

1. Bauer, W. 2011. Fisica per l'ingegneria e le scienze. Volume 1. Mc Graw Hill. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011. Meccanica dei fluidi. Fondamenti e applicazioni. Prima edizione. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Serie: Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 4. Fluidi e termodinamica. A cura di Douglas Figueroa (USB). 1 - 42.
4. Giles, R. 2010. Meccanica dei fluidi e idraulica. McGraw Hill.
5. Rex, A. 2011. Fondamenti di fisica. Pearson. 239-263.
6. Tippens, P. 2011. Fisica: concetti e applicazioni. 7a edizione. McGraw Hill.