ORTHOHEDRON: FORMULE, AREA, VOLUME, DIAGONALE, ESEMPI - MATEMATICA - 2026

L' ortoedro è una figura geometrica volumetrica o tridimensionale che si caratterizza per avere sei facce rettangolari, in modo che le facce opposte siano su piani paralleli e siano rettangoli identici o congruenti. D'altra parte, le facce adiacenti a una data faccia sono in piani perpendicolari a quella della faccia iniziale.

L'ortoedro può anche essere considerato come un prisma ortogonale a base rettangolare, in cui gli angoli diedri formati dai piani di due facce adiacenti ad uno spigolo comune misurano 90º. L'angolo diedro tra due facce viene misurato sull'intersezione delle facce con un piano perpendicolare ad esse comune.

Figura 1. Orthohedron. Fonte: F. Zapata con Geogebra.

Allo stesso modo, l'ortoedro è un parallelepipedo rettangolo, poiché è così che il parallelepipedo viene definito come la figura volumetrica di sei facce parallele a due a due.

In ogni parallelepipedo le facce sono parallelogrammi, ma nel parallelepipedo rettangolare le facce devono essere rettangolari.

Parti dell'ortoedro

Le parti di un poliedro, come l'ortoedro, sono:

-Aristas

-Vertices

-Facce

L'angolo tra due bordi di una faccia dell'ortoedro coincide con l'angolo diedro formato dalle sue altre due facce adiacenti a ciascuno dei bordi, formando un angolo retto. L'immagine seguente chiarisce ogni concetto:

Figura 2. Parti di un ortoedro. Fonte: F. Zapata con Geogebra.

-In totale un ortoedro ha 6 facce, 12 bordi e 8 vertici.

-L'angolo tra due bordi qualsiasi è un angolo retto.

-Anche l'angolo diedro tra due facce è corretto.

-In ogni faccia ci sono quattro vertici e ad ogni vertice ci sono tre facce mutuamente ortogonali.

Formule di ortoedro

La zona

La superficie o l'area di un ortoedro è la somma delle aree delle sue facce.

Se i tre bordi che si incontrano in un vertice hanno misure a, be c, come mostrato nella Figura 3, la faccia anteriore ha area c⋅b e anche la faccia inferiore ha area c⋅b.

Quindi le due facce laterali hanno area a⋅b ciascuna. Infine, le facce del pavimento e del soffitto hanno un'area ciascuna.

Figura 3. Ortoedro di dimensioni a, b, c. Diagonale interna D e diagonale esterna d.

Aggiungendo l'area di tutte le facce si ottiene:

Prendendo un fattore comune e ordinando i termini:

Volume

Se l'ortoedro è pensato come un prisma, il suo volume viene calcolato in questo modo:

In questo caso, il pavimento di dimensioni ce a è preso come base rettangolare, quindi l'area della base è c⋅a.

L'altezza è data dalla lunghezza b dei bordi ortogonali alle facce dei lati a e c.

Moltiplicando l'area della base (a⋅c) per l'altezza b si ottiene il volume V dell'ortoedro:

Diagonale interna

In un ortoedro ci sono due tipi di diagonali: le diagonali esterne e le diagonali interne.

Le diagonali esterne sono sulle facce rettangolari, mentre le diagonali interne sono i segmenti che uniscono due vertici opposti, intendendosi per vertici opposti quelli che non condividono alcun bordo.

In un ortoedro ci sono quattro diagonali interne, tutte di uguale misura. La lunghezza delle diagonali interne può essere ottenuta applicando il teorema di Pitagora per i triangoli rettangoli.

La lunghezza d della diagonale esterna della faccia del pavimento dell'ortoedro soddisfa la relazione pitagorica:

d ² = a ² + c ²

Allo stesso modo, la diagonale interna della misura D soddisfa la relazione pitagorica:

D ² = d ² + b ² .

Combinando le due espressioni precedenti abbiamo:

D ² = a ² + c ² + b ² .

Infine, la lunghezza di una qualsiasi delle diagonali interne dell'ortoedro è data dalla seguente formula:

D = √ (a ² + b ² + c ² ).

Esempi

- Esempio 1

Un muratore costruisce una vasca a forma di ortoedro le cui dimensioni interne sono: 6 mx 4 m di base e 2 m di altezza. Chiede:

a) Determinare la superficie interna del serbatoio se è completamente aperto nella parte superiore.

b) Calcolare il volume dello spazio interno del serbatoio.

c) Trova la lunghezza di una diagonale interna.

d) Qual è la capacità del serbatoio in litri?

Soluzione a

Prenderemo le dimensioni della base rettangolare a = 4 me c = 6 me l'altezza b = 2 m

L'area di un ortoedro con le dimensioni date è data dalla seguente relazione:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

Vale a dire:

A = 2⋅ (8 m ² + 12 m ² + 24 m ² ) = 2⋅ (44 m ² ) = 88 m ²

Il risultato precedente è l'area dell'ortoedro chiuso con le dimensioni date, ma poiché si tratta di una vasca completamente scoperta nella sua parte superiore, per ottenere la superficie delle pareti interne della vasca è necessario sottrarre l'area del coperchio mancante che è:

c⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m ² .

Infine, la superficie interna della vasca sarà: S = 88 m ² - 24 m ² = 64 m ² .

Soluzione b

Il volume interno del serbatoio è dato dal volume di un ortoedro delle dimensioni interne del serbatoio:

V = a⋅b⋅c = 4 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 48 m ³ .

Soluzione c

La diagonale interna di un ottaedro con le dimensioni dell'interno della vasca ha una lunghezza D data da:

√ (a ² + b ² + c ² ) = √ ((4 m) ² + (2 m) ² + (6 m) ² )

Effettuando le operazioni indicate abbiamo:

D = √ (16 m ² + 4 m ² + 36 m ² ) = √ (56 m ² ) = 2√ (14) m = 7,48 m.

Soluzione d

Per calcolare la capacità del serbatoio in litri, è necessario sapere che il volume di un decimetro cubo è uguale alla capacità di un litro. In precedenza era stato calcolato in volume in metri cubi, ma deve essere trasformato in decimetri cubi e poi in litri:

V = 48 m ³ = 48 (10 dm) ³ = 4.800 dm ³ = 4.800 L

- Esercizio 2

Un acquario di vetro ha una forma cubica con un lato di 25 cm. Determina l'area in m ² , il volume in litri e la lunghezza di una diagonale interna in cm.

Figura 4. Acquario di vetro a forma cubica.

Soluzione

L'area viene calcolata utilizzando la stessa formula dell'ortoedro, ma tenendo conto che tutte le dimensioni sono identiche:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ a ² = 6⋅ (25 cm) ² = 1.250 cm ²

Il volume del cubo è dato da:

V = a ³ = (25 cm) ³ = 15,625 cm ³ = 15,625 (0,1 dm) ³ = 15,625 dm ³ = 15,625 L.

La lunghezza D della diagonale interna è:

D = √ (3a ² ) = 25√ (3) cm = 43,30 cm.

Riferimenti

1. Arias J. GeoGebra: Prisma. Estratto da: youtube.com.
2. Calculation.cc. Esercizi e problemi risolti di aree e volumi. Estratto da: calculo.cc.
3. Salvador R. Piramide + ortoedro con GEOGEBRA (IHM). Estratto da: youtube.com
4. Weisstein, Eric. "Orthohedron". MathWorld. Wolfram Research.
5. Wikipedia. Orthohedron Estratto da: es.wikipedia.com