ONDE UNIDIMENSIONALI: ESPRESSIONI MATEMATICHE ED ESEMPI - FISICO - 2026

Le onde unidimensionali sono quelle che si propagano in una sola direzione, indipendentemente dal fatto che la vibrazione avvenga o meno nella stessa direzione di propagazione. Un buon esempio di questi è l'onda che viaggia attraverso una corda tesa come quella di una chitarra.

In un'onda piana trasversale, le particelle vibrano in direzione verticale (salgono e scendono, vedi la freccia rossa nella figura 1), ma è unidimensionale perché il disturbo viaggia in una sola direzione, seguendo la freccia gialla.

Figura 1: l'immagine rappresenta un'onda unidimensionale. Notare che le creste e le valli formano linee parallele tra loro e perpendicolari alla direzione di propagazione. Fonte: autocostruito.

Le onde unidimensionali compaiono abbastanza frequentemente nella vita di tutti i giorni. Nella sezione seguente vengono descritti alcuni esempi di essi e anche di onde non unidimensionali, per stabilire chiaramente le differenze.

Esempi di onde unidimensionali e onde non unidimensionali

Onde unidimensionali

Ecco alcuni esempi di onde unidimensionali che possono essere facilmente osservate:

- Un impulso sonoro che viaggia attraverso una barra diritta, poiché è un disturbo che si diffonde su tutta la lunghezza della barra.

- Un'onda che viaggia attraverso un canale d'acqua, anche quando lo spostamento della superficie dell'acqua non è parallelo al canale.

- Le onde che si propagano su una superficie o attraverso lo spazio tridimensionale possono anche essere unidimensionali, purché i loro fronti d'onda siano piani paralleli tra loro e viaggino in una sola direzione.

Onde non unidimensionali

Un esempio di onda non unidimensionale si trova nelle onde che si formano su una superficie di acqua calma quando una pietra viene lasciata cadere. È un'onda bidimensionale con un fronte d'onda cilindrico.

Figura 2. L'immagine rappresenta un esempio di cosa NON È un'onda unidimensionale. Si noti che le creste e le valli formano cerchi e la direzione di propagazione è radiale verso l'esterno, quindi è un'onda circolare bidimensionale. Fonte: Pixabay.

Un altro esempio di un'onda non unidimensionale è l'onda sonora generata da un petardo esplodendo a una certa altezza. Questa è un'onda tridimensionale con fronti d'onda sferici.

Espressione matematica di un'onda unidimensionale

Il modo più generale per esprimere un'onda unidimensionale che si propaga senza attenuazione nella direzione positiva dell'asse xy con velocità v è, matematicamente:

In questa espressione y rappresenta il disturbo nella posizione x al tempo t. La forma dell'onda è data dalla funzione f. Ad esempio, la funzione d'onda mostrata nella figura 1 è: y (x, t) = cos (x - vt) e l'immagine dell'onda corrisponde all'istante t = 0.

Un'onda come questa, descritta da una funzione coseno o seno, è chiamata onda armonica. Sebbene non sia l'unica forma d'onda esistente, è della massima importanza, perché qualsiasi altra onda può essere rappresentata come una sovrapposizione o somma di onde armoniche. È il noto teorema di Fourier, così ampiamente utilizzato per descrivere segnali di ogni tipo.

Quando l'onda viaggia nella direzione negativa dell'asse x, cambia semplicemente v in -v nell'argomento, lasciando:

La figura 3 mostra l'animazione di un'onda che viaggia verso sinistra: è una forma chiamata funzione lorentziana e la sua espressione matematica è:

In questo esempio la velocità di propagazione è v = 1, -una unità di spazio per ogni unità di tempo-.

Figura 3. Esempio di un'onda lorentziana che viaggia verso sinistra con velocità v = 1. Fonte: preparato da F. Zapata con Geogebra.

Equazione delle onde unidimensionale

L'equazione delle onde è un'equazione derivata parziale, la cui soluzione è ovviamente un'onda. Stabilisce la relazione matematica tra la parte spaziale e la parte temporale di essa, e ha la forma:

Esempio funzionante

La seguente è l'espressione generale y (x, t) per un'onda armonica:

a) Descrivere il significato fisico dei parametri A, k, ω e θo.

b) Che significato hanno i segni ± nell'argomento del coseno?

c) Verificare che l'espressione data sia effettivamente la soluzione dell'equazione d'onda della sezione precedente e trovare la velocità v di propagazione.

Soluzione a)

Le caratteristiche dell'onda si trovano nei seguenti parametri:

Derivata seconda rispetto at: ∂ ² e / ∂t ² = -ω ² . A ⋅ cos (k ⋅ x ± ω ⋅ t + θo)

Questi risultati vengono sostituiti nell'equazione delle onde:

Sia A che il coseno sono semplificati, poiché compaiono su entrambi i lati dell'uguaglianza e l'argomento del coseno è lo stesso, quindi l'espressione si riduce a:

Che permette di ottenere un'equazione per v in termini di ω e k:

Riferimenti

1. E-educativo. Equazione delle onde armoniche unidimensionali. Estratto da: e-ducativa.catedu.es
2. L'angolo della fisica. Corsi di onde. Estratto da: fisicaparatontos.blogspot.com.
3. Figueroa, D. 2006. Waves and Quantum Physics. Serie: Fisica per la scienza e l'ingegneria. A cura di Douglas Figueroa. Università Simon Bolivar. Caracas Venezuela.
4. Laboratorio di Fisica Moto ondoso. Estratto da: fisicalab.com.
5. Peirce, A. Lezione 21: L'equazione dell'onda unidimensionale: la soluzione di D'Alembert. Recupero da: ubc.ca.
6. Equazione delle onde. Estratto da: en.wikipedia.com