- Sistema di numerazione posizionale
- Numeri frazionari o decimali
- Esempi di notazione espansa
- Esempio 1
- Esempio 2
- Esercizi di notazione sviluppati
- Esercizio 1
- Esercizio 2
- Esercizio 3
- Esercizio 6
- Riferimenti
La notazione sviluppata è quella in cui una cifra numerica è espressa come una somma in cui viene preso in considerazione il valore di posizione di ciascuna cifra che compone il numero.
Ad esempio, quando scrivi una cifra come 2345, ogni cifra in essa ha una gerarchia di posizione. Leggendo dalla cifra estrema destra a sinistra, la gerarchia o il valore cresce.
Figura 1. Con nove grafemi è possibile rappresentare qualsiasi numero.
Nella figura 2345, la cifra 5 rappresenta cinque unità, la cifra 4 rappresenta quattro decine, il 3 corrisponde alla terza posizione da sinistra a destra e quindi il 3 rappresenta trecento, infine il 2 rappresenta duemila. In altre parole, nella notazione sviluppata o estesa, la figura 2345 è scritta così:
2345 = 2 migliaia + 3 centinaia + 4 decine + 5 unità
Ma può anche essere espresso nel modo seguente:
2345 = 2 x 1000 + 3 x 100 + 4 x 10 + 5 x 1.
Anche la figura 2345 può essere scritta come la somma delle potenze di 10:
2345 = 2 x 10 ^ 3 + 3 x 10 ^ 2 + 4 x 10 ^ 1 + 5 x 10 ^ 0
Dove il circonflesso ^ significa elevazione all'esponente indicato. Ad esempio, 10 ^ 3 = 10 x 10 x 10 = 1000. Un altro modo per scrivere gli esponenti è usare un apice:
2345 = 2 x 10 3 + 3 x 10 2 + 4 x 10 1 + 5 x 10 0
Sistema di numerazione posizionale
Il sistema numerico arabo sono i numeri che vengono utilizzati quotidianamente nella stragrande maggioranza dei continenti e dei paesi del mondo. I numeri arabi sono un sistema in base 10 perché dieci simboli o grafemi sono usati per scrivere qualsiasi numero. Questi dieci simboli sono:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Con uno solo di questi simboli, è possibile esprimere cifre comprese tra zero e nove. Per esprimere cifre maggiori di nove, viene utilizzato il sistema posizionale in base dieci. Il numero 10 è un dieci e uno zero. Il numero 11 è un dieci e un'unità. Il numero 123 (centoventitre) è cento, due decine e tre unità. Scritto sotto forma di poteri di dieci il numero 123 sarà:
1 × 10 ^ 2 + 2 × 10 ^ 1 + 3 × 10 ^ 0
Dove:
10 ^ 2 = 10 x 10 = 100
10 ^ 1 = 10
10 ^ 0 = 1.
Con questo esempio è chiaro che la posizione della cifra all'estrema destra è la posizione 0 e rappresenta il numero di unità, quella della seconda cifra da destra a sinistra è la posizione 1 e rappresenta il numero delle decine, la terza cifra (da destra a sinistra) ha la posizione 2 e rappresenta le centinaia.
Figura 2. Notazione sviluppata della figura 123.
Numeri frazionari o decimali
Con il sistema posizionale decimale è anche possibile rappresentare numeri o cifre che sono minori dell'unità o che sono maggiori dell'unità ma non numeri interi, cioè hanno frazioni dell'unità.
Per rappresentare la frazione ½ nel sistema decimale arabo, cioè la metà dell'unità, si scrive:
½ = 0,5
Per arrivare a questa espressione nel nostro sistema base 10, sono state eseguite implicitamente le seguenti operazioni:
1- Il numeratore e il denominatore vengono moltiplicati per 5 per ottenere la frazione equivalente 5/10 = 1/2.
2- Dividere per 10 equivale a moltiplicare per la potenza in base dieci con esponente meno uno (10 ^ -1), ovvero 5/10 = 5 × 10 ^ -1.
3- L'esponente negativo indica quante volte la cifra indicata viene spostata o posizionata a destra dalla posizione unitaria, nel nostro caso sarebbe 0,5.
4- ½ = 0,5 in notazione estesa è scritto in questo modo:
0,5 = 0x10 ^ 0 + 5 × 10 ^ -1
Dove 10 ^ -1 = 0,1 è un decimo (la frazione corrispondente all'unità divisa in 10 parti uguali).
In questo modo, il numero 0,5 corrisponde a cinque decimi, ma il numero 0,05 corrisponde a 5 centesimi e 0,005 a 5 millesimi.
Esempi di notazione espansa
Esempio 1
Data la cifra 40201 in notazione standard, convertirla in notazione espansa.
Soluzione:
4 × 10000 + 0x1000 + 2 × 100 + 0x10 + 1 × 1 = 40201
Esempio 2
Scrivi la frazione ¾ in notazione estesa.
Soluzione:
In questo caso hai tre quarti dell'unità.
3/4 = 15/20 = 75/100 = 0,75 = 7/10 + 5/100 =
7 × 10 ^ -1 + 5 × 10 ^ -2.
A parole sarebbe simile a questo:
La frazione ¾ corrisponde a sette decimi più cinquecentesimi.
Esercizi di notazione sviluppati
Esercizio 1
Pronuncia a parole l'espressione espansa del numero 40201 dell'esempio 1.
Soluzione:
La notazione sviluppata è simile a questa:
40201 = 4 × 10000 + 0x1000 + 2 × 100 + 0x10 + 1 × 1
Che nel linguaggio delle parole si dice:
Quattro decine di migliaia, più zero migliaia, più duecento, più zero decine, più un'unità.
Esercizio 2
Esprimi la figura precedente in parole e scomponi la frase corrispondente in forma espansa.
Soluzione:
La cifra 40201 in parole è espressa così:
Quarantamiladuecentouno
La frase precedente può essere sviluppata come:
40 × 1000 + 2 × 100 + 1
Si può dire che il modo di pronunciare le figure è un modo semi-sviluppato di esprimerlo.
Esercizio 3
Scrivi il numero 7/3 in forma espansa.
Soluzione:
È una cifra espressa come frazione impropria, poiché poiché il numeratore è maggiore del denominatore, la cifra è maggiore dell'unità.
Questa frazione impropria può essere scomposta come la somma delle frazioni 6/3 + 1/3. La prima delle frazioni risulta in un numero intero 2, mentre 1/3 = 0,333333, dove la cifra 3 si ripete indefinitamente. Quindi l'espressione decimale espansa della figura 7/3 sarà sempre un'espressione approssimativa:
7/3 = 2 + 1/3 ≃ 2 + 0,333 = 2 + 3 × 10 ^ -1 + 3 × 10 ^ -2 + 3 × 10 ^ -3.
Esercizio 6
Scrivi in notazione standard e poi in forma espansa il numero: ventitre miliardi duecentocinquanta milioni cinquecentoventiseimilatrecentoventicinque e tre ventitre millesimi.
Soluzione:
Va ricordato che un miliardo è l'equivalente di un miliardo. La parola miliardo è stata accettata dalla Royal Spanish Academy nel 1995 su richiesta del defunto presidente venezuelano Rafael Caldera, membro dell'Accademia venezuelana della lingua. In tal caso, la figura per l'esercizio in notazione standard è scritta in questo modo:
23,2501526,325,023
23 miliardi + 250 milioni + 526mila + 325 unità + 23 millesimi.
23 × 10 ^ 9 + 250 × 10 ^ 6 + 526 × 10 ^ 3 + 325 × 10 ^ 0 + 23 × 10 ^ -3
Infine la figura è scritta in notazione espansa:
2 × 10 ^ 10 + 3 × 10 ^ 9 + 2 × 10 ^ 8 + 5 × 10 ^ 7 + 0x10 ^ 6 + 5 × 10 ^ 5 + 2 × 10 ^ 4 + 6 × 10 ^ 3 + 3 × 10 ^ 2 + 2 × 10 ^ 1 + 5 × 10 ^ 0 + 0x10 ^ -1 + 2 × 10 ^ -2 + 3 × 10 ^ -3.
Riferimenti
- Khan Academy. Posizionare grafici dei valori. Estratto da: es.khanacademy.org
- Khan Academy. Scrivi un numero in forma espansa (video). Estratto da: es.khanacademy.org
- Ifrah, Geoges (1998): Storia universale delle figure. Espasa Calpe SA
- Wikipedia. Notazione di posizione. Estratto da: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Miliardi. Estratto da: es.wikipedia.com