Gli angoli contrapposti al vertice sono quelli che soddisfano quanto segue: i lati di uno di essi sono le estensioni dei lati dell'altro angolo. Il teorema fondamentale degli angoli dei vertici funziona così: due angoli dei vertici hanno la stessa misura.
Il linguaggio è spesso abusato dicendo che gli angoli opposti al vertice sono uguali, il che non è corretto. Il fatto che due angoli abbiano la stessa misura non significa che siano uguali. È come dire che due bambini della stessa altezza sono uguali.
Figura 1. Angoli contrapposti al vertice. Preparato da: Fanny Zapata.
Ricorda che un angolo è definito come la figura geometrica composta da due raggi con la stessa origine.
La figura 1 mostra l'angolo fOg (blu) composto dal raggio ) .push ({});
Teorema degli angoli dei vertici
Original text
Formalmente, il teorema è affermato in questo modo:
Figura 4. α, β e γ sono le misure degli angoli SOQ, QOR e ROP. A cura di: F. Zapata.
Dimostrazione
L'angolo SOQ ha misura α; l'angolo QOR ha misura β e l'angolo ROP ha misura γ. La somma dell'angolo SOQ più il QOR forma l'angolo piano SOR della misura di 180º.
Questo è:
α + β = 180º
D'altra parte e usando lo stesso ragionamento con gli angoli QOR e ROP, abbiamo:
β + γ = 180º
Se guardiamo le due equazioni precedenti, l'unico modo in cui valgono entrambe è che α sia uguale a γ.
Poiché SOQ ha misura α ed è opposta per il vertice a ROP di misura γ, e poiché α = γ, si conclude che gli angoli contrapposti al vertice hanno la stessa misura.
Esercizio risolto
Facendo riferimento alla Figura 4: Supponiamo che β = 2 α. Trova la misura degli angoli SOQ , QOR e ROP in gradi sessagesimali.
Soluzione
Poiché la somma dell'angolo SOQ più il QOR forma l'angolo piano SOR, abbiamo:
α + β = 180º
Ma ci dicono che β = 2 α. Sostituendo questo valore di β abbiamo:
α + 2 α = 180º
Vale a dire:
3 α = 180º
Il che significa che α è la terza parte di 180º:
α = (180º / 3) = 60º
Allora la misura di SOQ è α = 60º. La misura del QOR è β = 2 α = 2 * 60º = 120º. Infine, poiché ROP è opposto dal vertice a SOQ allora secondo il teorema già dimostrato hanno la stessa misura. Cioè, la misura di ROP è γ = α = 60º.
Riferimenti
- Baldor, JA 1973. Plane and Space Geometry. Centro culturale americano.
- Leggi e formule matematiche. Sistemi di misura angolari. Estratto da: ingemecanica.com.
- Wikipedia. Angoli opposti dal vertice. Estratto da: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Trasportatore. Estratto da: es.wikipedia.com
- Zapata F. Goniómetro: storia, parti, operazione. Estratto da: lifeder.com