ANGOLI INTERNI ED ESTERNI CONIUGATI: ESEMPI, ESERCIZI - MATEMATICA - 2024

Gli angoli coniugati sono quelli aggiunti ai risultati per essere 360, indipendentemente dal fatto che detti angoli siano adiacenti o meno. Nella Figura 1 sono mostrati due angoli coniugati, indicati con α e β.

In questo caso, gli angoli α e β nella figura hanno un vertice comune ei loro lati sono comuni, quindi sono adiacenti. La relazione tra loro è espressa come segue:

α + β = 360º

Figura 1. Due angoli centrali coniugati, somma. Fonte: Wikimedia Commons. Nessun autore leggibile dalla macchina fornito. Supponeva Thiago R Ramos (sulla base delle rivendicazioni sul copyright). È una classificazione degli angoli in base alla loro somma. Altre definizioni importanti includono angoli complementari, la cui somma è di 90º, e angoli supplementari, che totalizzano 180º.

Consideriamo invece ora due linee parallele tagliate da una secante, la cui disposizione è mostrata di seguito:

Figura 2. Linee parallele tagliate da una secante. Fonte: F. Zapata.

Le rette MN e PQ sono parallele, mentre la retta RS è secante, intersecando le parallele in due punti. Come si può vedere, questa configurazione determina la formazione di 8 angoli, che sono stati indicati con lettere minuscole.

Ebbene, secondo la definizione data all'inizio, gli angoli a, b, ce d sono coniugati. E allo stesso modo e, f, geh sono, poiché entrambi i casi sono veri:

a + b + c + d = 360º

E

e + f + g + h = 360º

Per questa configurazione si coniugano due angoli se sono dallo stesso lato rispetto alla linea secante RS ed entrambi sono interni o esterni. Nel primo caso si parla di angoli coniugati interni, mentre nel secondo si tratta di angoli coniugati esterni.

Esempi

Nella figura 2, gli angoli esterni sono quelli che sono al di fuori della regione delimitata dalle linee MN e PQ, sono gli angoli A, B, G e H.Mentre gli angoli che si trovano tra le due linee sono C, D, E e F.

Ora è necessario analizzare quali angoli sono a sinistra e quali a destra della secante.

A sinistra di RS ci sono gli angoli A, C, E e G. E a destra ci sono gli angoli B, D, F e H.

Si procede subito alla determinazione delle coppie di angoli coniugati, secondo la definizione data nella sezione precedente:

-A e G, esterne ea sinistra di RS.

-D e F, interni ea destra di RS.

-B e H, esterni ea destra di RS.

-C ed E, interno ea sinistra di RS.

Proprietà degli angoli coniugati tra rette parallele

Gli angoli coniugati tra rette parallele sono supplementari, cioè la loro somma è uguale a 180º. In questo modo, per la figura 2 vale quanto segue:

A + G = 180º

D + F = 180º

B + H = 180º

C + E = 180º

Le coppie di angoli corrispondenti per le linee parallele

Sono quelli che si trovano sullo stesso lato della linea secante, non sono adiacenti e uno di essi è interno e l'altro è esterno. È importante visualizzarli, poiché la loro misura è la stessa, perché sono angoli opposti rispetto al vertice.

Tornando alla figura 2, le corrispondenti coppie di angoli sono identificate come:

-A ed E

-C e G

-B e F

-D e H

Angoli interni di un quadrilatero

I quadrilateri sono poligoni a 4 facce, tra cui il quadrato, il rettangolo, il trapezio, il parallelogramma e il rombo, ad esempio. Indipendentemente dalla loro forma, in ognuno di essi è vero che la somma dei loro angoli interni è di 360º, quindi soddisfano la definizione data all'inizio.

Vediamo alcuni esempi di quadrilateri e come calcolare il valore dei loro angoli interni in base alle informazioni nelle sezioni precedenti:

Esempi

a) Tre angoli di un quadrilatero misurano 75º, 110º e 70º. Quanto dovrebbe misurare l'angolo rimanente?

b) Trova il valore dell'angolo ∠Q nella figura 3 i.

c) Calcola la misura dell'angolo ∠A in figura 3 ii.

Soluzione a

Sia α l'angolo mancante, si è accertato che:

α + 75º + 110º + 70º = 360º → α = 105º

Soluzione b

La figura 3i mostrata è un trapezio e due dei suoi angoli interni sono retti, che sono stati contrassegnati con un quadrato colorato agli angoli. Per questo quadrilatero si verifica quanto segue:

∠R + ∠S + ∠P + ∠Q = 360º; ∠S = ∠R = 90 °; ∠P = 60º

Così:

∠ Q = 2 x 90º + 60º = 240º

Soluzione c

Anche il quadrilatero nella figura 3 ii è un trapezio, per il quale vale quanto segue:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360º

Così:

4x -5 + 3x + 10 +180 = 360

7x + 5 = 180

x = (180 - 5) / 7

x = 25

Per determinare l'angolo richiesto nell'istruzione, usiamo che ∠A = 4x - 5. Sostituendo il valore di x calcolato in precedenza segue che ∠A = (4 × 25) -5 = 95º

esercizi

- Esercizio 1

Sapendo che uno degli angoli mostrati è 125º, trova le misure dei 7 angoli rimanenti nella figura seguente e giustifica le risposte.

Figura 4. Le linee e gli angoli dell'esercizio 1. Fonte: F. Zapata.

Soluzione

L'angolo 6 e l'angolo 125º sono coniugati interni, la cui somma è 180º, secondo la proprietà degli angoli coniugati, quindi:

∠6 + 125º = 180º → ∠6 = 180º - 125º = 55º

D'altra parte ∠6 e ∠8 sono angoli opposti dal vertice, la cui misura è la stessa. Pertanto ∠8 misura 55º.

L'angolo ∠1 è anche opposto al vertice a 125º, quindi possiamo affermare che ∠1 = 125º. Possiamo anche fare appello al fatto che le coppie di angoli corrispondenti hanno la stessa misura. Nella figura questi angoli sono:

∠7 = 125 º

∠2 = ∠6 = 55 º

∠1 = ∠5 = 125º

∠4 = ∠8 = 55 º

- Esercizio 2

Trova il valore di x nella figura seguente ei valori di tutti gli angoli:

Figura 5. Linee e angoli per l'esercizio 2. Fonte: F. Zapata.

Soluzione

Poiché sono coppie corrispondenti, ne consegue che F = 73º. E d'altra parte la somma delle coppie coniugate è 180º, quindi:

3x + 20º + 73º = 180º

3x = 180º - 73º -20º = 87

Infine il valore di x è:

x = 87/3 = 29

Come per tutti gli angoli, sono elencati nella figura seguente:

Figura 6. Angoli risultanti dall'esercizio 2. Fonte: F. Zapata.

Riferimenti

1. Gruppi di angoli. Spiegazione degli angoli complementari, supplementari ed esemplificativi. Estratto da: thisiget.com/
2. Baldor, A. 1983. Plane and Space Geometry and Trigonometry. Patria Cultural Group.
3. Corral, M. Mathematics LibreTexts: Angles. Recupero da: math.libretexts.org.
4. Mathmania. Classificare e costruire angoli in base alla loro misurazione. Recupero da: matematica.com/
5. Wentworth, G. Plane Geometry. Estratto da: gutenberg.org.
6. Wikipedia. Angoli coniugati. Estratto da: es.wikipedia.org.