NUMERI TRASCENDENTI: COSA SONO, FORMULE, ESEMPI, ESERCIZI - MATEMATICA - 2026

I numeri trascendentali sono quelli che non possono essere ottenuti come risultato di un'equazione polinomiale. L'opposto di un numero trascendente è un numero algebrico, che sono soluzioni di un'equazione polinomiale del tipo:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Dove i coefficienti a _n , a _n-1 ,… .. a ₂ , a ₁ , a ₀ sono numeri razionali, chiamati coefficienti del polinomio. Se un numero x è una soluzione all'equazione precedente, allora quel numero non è trascendente.

Figura 1. Due numeri di grande importanza nella scienza sono numeri trascendenti. Fonte: publicdomainpictures.net.

Analizzeremo alcuni numeri e vedremo se sono trascendenti o meno:

a) 3 non è trascendente perché è una soluzione di x - 3 = 0.

b) -2 non può essere trascendente perché è una soluzione di x + 2 = 0.

c) ⅓ è una soluzione di 3x - 1 = 0

d) Una soluzione dell'equazione x ² - 2x + 1 = 0 è √2 -1, quindi quel numero per definizione non è trascendente.

e) Nessuno dei due è √2 perché è il risultato dell'equazione x ² - 2 = 0. Al quadrato di √2 risulta 2, che sottratto da 2 è uguale a zero. Quindi √2 è un numero irrazionale ma non è trascendente.

Cosa sono i numeri trascendenti?

Il problema è che non esiste una regola generale per ottenerli (ne parleremo più avanti), ma alcuni dei più famosi sono il numero pi greco e il numero Neper, indicati rispettivamente con: π ed e.

Il numero π

Il numero π appare naturalmente osservando che il quoziente matematico tra il perimetro P di un cerchio e il suo diametro D, indipendentemente dal fatto che sia un cerchio piccolo o grande, dà sempre lo stesso numero, detto pi:

π = P / D ≈ 3,14159 ……

Ciò significa che se si prende come unità di misura il diametro della circonferenza, per tutte, grandi o piccole, il perimetro sarà sempre P = 3.14… = π, come si può vedere nell'animazione di figura 2.

Figura 2. La lunghezza del perimetro di un cerchio è pi volte la lunghezza del diametro, con pi pari a circa 3,1416.

Per determinare più decimali, è necessario misurare P e D con maggiore precisione e quindi calcolare il quoziente, che è stato fatto matematicamente. La conclusione è che i decimali del quoziente non hanno fine e non si ripetono mai, quindi il numero π oltre ad essere trascendente è anche irrazionale.

Un numero irrazionale è un numero che non può essere espresso come divisione di due numeri interi.

È noto che ogni numero trascendente è irrazionale, ma non è vero che tutti gli irrazionali sono trascendenti. Ad esempio √2 è irrazionale, ma non è trascendente.

Figura 3. I numeri trascendenti sono irrazionali, ma non è vero il contrario.

Il numero e

Il numero trascendente e è la base dei logaritmi naturali e la sua approssimazione decimale è:

e ≈ 2,718281828459045235360….

Se si volesse scrivere esattamente il numero e, sarebbe necessario scrivere decimali infiniti, perché ogni numero trascendente è irrazionale, come detto prima.

Le prime dieci cifre di e sono facili da ricordare:

2,7 1828 1828 e sebbene sembri seguire uno schema ripetitivo, ciò non si ottiene in decimali di ordine maggiore di nove.

Una definizione più formale di e è la seguente:

Ciò significa che il valore esatto di e si ottiene eseguendo l'operazione indicata in questa formula, quando il numero naturale n tende all'infinito.

Questo spiega perché possiamo ottenere solo approssimazioni di e, poiché non importa quanto grande sia il numero n, si può sempre trovare una n maggiore.

Cerchiamo da soli alcune approssimazioni:

-Quando n = 100 allora (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2.70481 che difficilmente coincide nel primo decimale con il valore “vero” di e.

-Se scegli n = 10.000, hai (1 + 1 / 10.000) ^10.000 = 2.71815, che coincide con il valore “esatto” di e nelle prime tre cifre decimali.

Questo processo dovrebbe essere seguito all'infinito per ottenere il valore "vero" di e. Non credo che abbiamo tempo per farlo, ma proviamone un altro:

Usiamo n = 100.000:

(1 + 1 / 100.000) ^100.000 = 2,7182682372

Questo ha solo quattro cifre decimali che corrispondono al valore considerato esatto.

L'importante è capire che maggiore è il valore di n scelto per calcolare e _n , più vicino sarà il valore vero. Ma quel valore vero avrà solo quando n è infinito.

Figura 4. Si mostra graficamente come più è alto il valore di n, più si avvicina ad e, ma per arrivare al valore esatto n deve essere infinito.

Altri numeri importanti

Oltre a questi numeri famosi ci sono altri numeri trascendenti, ad esempio:

- 2 ^√2

-Il numero Champernowne in base 10:

C_10 = 0,123456789101112131415161718192021….

-Il numero Champernowne in base 2:

C_2 = 0,1101110010110111….

-Il numero gamma γ o costante di Eulero-Mascheroni:

γ ≈ 0,577 215 664901532 860 606

Che si ottiene eseguendo il seguente calcolo:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

Per quando n è molto molto grande. Per avere il valore esatto del numero Gamma, sarebbe necessario fare il calcolo con n infinito. Qualcosa di simile a quello che abbiamo fatto sopra.

E ci sono molti altri numeri trascendenti. Il grande matematico Georg Cantor, nato in Russia e vissuto tra il 1845 e il 1918, ha dimostrato che l'insieme dei numeri trascendenti è molto maggiore dell'insieme dei numeri algebrici.

Formule in cui appare il numero trascendente π

Il perimetro della circonferenza

P = π D = 2 π R, dove P è il perimetro, D il diametro e R il raggio della circonferenza. Va ricordato che:

-Il diametro della circonferenza è il segmento più lungo che unisce due punti della stessa e che passa sempre per il suo centro,

-Il raggio è la metà del diametro ed è il segmento che va dal centro al bordo.

Area di un cerchio

A = π R ² = ¼ π D ²

Superficie di una sfera

S = 4 π R ^2.

Sì. Anche se può non sembrare, la superficie di una sfera è uguale a quella di quattro cerchi dello stesso raggio della sfera.

Volume della sfera

V = 4/3 π R ³

esercizi

- Esercizio 1

La pizzeria “EXÓTICA” vende pizze di tre diametri: piccola 30 cm, media 37 cm e grande 45 cm. Un ragazzo ha molta fame e si è accorto che due pizze piccole costano come una grande. Cosa sarà meglio per lui, comprare due pizze piccole o una grande?

Figura 5.- L'area di una pizza è proporzionale al quadrato del raggio, essendo pi la costante di proporzionalità. Fonte: Pixabay.

Soluzione

Maggiore è la superficie, maggiore è la quantità di pizza, per questo motivo verrà calcolata la superficie di una pizza grande e confrontata con quella di due pizze piccole:

Area della pizza grande = ¼ π D ² = ¼ ⋅3.1416⋅45 ² = 1590,44 cm ²

Area della pizza piccola = ¼ π d ² = ¼ ⋅3.1416⋅30 ² = 706,86 cm ²

Quindi due pizzette avranno una superficie di

2 x 706,86 = 1413,72 cm ² .

È chiaro: avrai una quantità di pizza maggiore acquistandone una sola grande rispetto a due piccole.

- Esercizio 2

La pizzeria “EXÓTICA” vende anche una pizza semisferica con raggio di 30 cm allo stesso prezzo di una pizza rettangolare di 30 x 40 cm per lato. Quale sceglieresti?

Figura 6.- La superficie di un emisfero è il doppio della superficie circolare della base. Fonte: F. Zapata.

Soluzione

Come accennato nella sezione precedente, l'area di una sfera è quattro volte quella di un cerchio dello stesso diametro, quindi un emisfero di 30 cm di diametro avrà:

Pizza semisferica da 30 cm: 1413,72 cm ² (due volte una circolare dello stesso diametro)

Pizza rettangolare: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm ² .

La pizza semisferica ha una superficie più ampia.

Riferimenti

1. Fernández J. Il numero e. Origine e curiosità. Estratto da: soymatematicas.com
2. Goditi la matematica. Il numero di Eulero. Recupero da: goditi il ​​sito web.
3. Figuera, J. 2000. Matematica 1st. Diversificato. Edizioni CO-BO.
4. García, M. Il numero e nel calcolo elementare. Estratto da: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Wikipedia. Numero PI. Estratto da: wikipedia.com
6. Wikipedia. Numeri trascendenti. Estratto da: wikipedia.com