NUMERI REALI: STORIA, ESEMPI, PROPRIETÀ, OPERAZIONI - MATEMATICA - 2025

I numeri reali costituiscono l'insieme numerico che include i numeri naturali, gli interi, il razionale e l'irrazionale. Sono indicati con il simbolo ℝ o semplicemente R e il loro ambito in scienza, ingegneria ed economia è tale che quando si parla di "numero", è quasi scontato che sia un numero reale.

I numeri reali sono stati usati sin dai tempi antichi, anche se non è stato dato loro quel nome. Dal momento in cui Pitagora sviluppò il suo famoso teorema, emersero numeri che non potevano essere ottenuti come quozienti di numeri naturali o interi.

Figura 1. Diagramma di Venn che mostra come l'insieme di numeri reali contiene gli altri insiemi di numeri. Fonte> Wikimedia Commons.

Esempi di numeri sono √2, √3 e π. Questi numeri sono chiamati irrazionali, al contrario dei numeri razionali, che provengono da quozienti di numeri interi. Era quindi necessario un insieme numerico che comprendesse entrambe le classi di numeri.

Il termine "numero reale" è stato creato dal grande matematico René Descartes (1596-1650), per distinguere tra i due tipi di radici che possono derivare dalla risoluzione di un'equazione polinomiale.

Alcune di queste radici possono essere anche radici di numeri negativi, Descartes chiamava questi "numeri immaginari" e quelli che non lo erano erano numeri reali.

La denominazione è persistita nel tempo, dando origine a due grandi insiemi numerici: i numeri reali e i numeri complessi, un insieme più ampio che include numeri reali, numeri immaginari e quelli che sono in parte reali e in parte immaginari.

L'evoluzione dei numeri reali continuò il suo corso fino a quando nel 1872 il matematico Richard Dedekind (1831-1936) definì formalmente l'insieme dei numeri reali attraverso i cosiddetti tagli di Dedekind. La sintesi del suo lavoro fu pubblicata in un articolo che vide la luce quello stesso anno.

Esempi di numeri reali

La tabella seguente mostra esempi di numeri reali. Questo insieme ha come sottoinsiemi i numeri naturali, gli interi, il razionale e l'irrazionale. Qualsiasi numero di questi insiemi è, di per sé, un numero reale.

Pertanto 0, negativi, positivi, frazioni e decimali sono numeri reali.

Figura 2. Esempi di numeri reali sono naturali, interi, razionali, irrazionali e trascendenti. Fonte: F. Zapata.

Rappresentazione di numeri reali sulla linea reale

I numeri reali possono essere rappresentati sulla linea reale R , come mostrato in figura. Non è necessario che lo 0 sia sempre presente, tuttavia è conveniente sapere che i reali negativi stanno a sinistra e quelli positivi a destra. Ecco perché è un ottimo punto di riferimento.

Sulla linea reale si prende una scala in cui si trovano gli interi:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. La freccia indica che la linea si estende all'infinito. Ma non è tutto, in ogni intervallo considerato troveremo sempre anche numeri reali infiniti.

I numeri reali sono rappresentati in ordine. Per cominciare, c'è l'ordine degli interi, in cui i positivi sono sempre maggiori di 0, mentre i negativi sono minori.

Questo ordine è mantenuto all'interno dei numeri reali. Le seguenti disuguaglianze sono mostrate come esempio:

a) -1/2 <√2

b) e <π

c) π> -1/2

Figura 3.- La linea reale. Fonte: Wikimedia Commons.

Proprietà dei numeri reali

-I numeri reali includono numeri naturali, interi, numeri razionali e numeri irrazionali.

-La proprietà commutativa dell'addizione è soddisfatta: l'ordine degli addendi non altera la somma. Se aeb sono due numeri reali, è sempre vero che:

a + b = b + a

-Lo 0 è l'elemento neutro della somma: a + 0 = a

-Per la somma si adempie la proprietà associativa. Se a, bec sono numeri reali: (a + b) + c = a + (b + c).

-L'opposto di un numero reale è -a.

-La sottrazione è definita come la somma del contrario: a - b = a + (-b).

-La proprietà commutativa del prodotto è soddisfatta: l'ordine dei fattori non altera il prodotto: ab = ba

-Nel prodotto si applica anche la proprietà associativa: (ab) .c = a. (Bc)

-L'1 è l'elemento neutro della moltiplicazione: a.1 = a

-La proprietà distributiva della moltiplicazione è valida rispetto all'addizione: a. (b + c) = ab + ac

-Divisione per 0 non è definita.

-Qualsiasi numero reale a, eccetto 0, ha un inverso moltiplicativo di ^-1 tale che aa ^-1 = 1.

-Se a è un numero reale: a ⁰ = 1 e a ¹ = a.

-Il valore assoluto o modulo di un numero reale è la distanza tra detto numero e 0.

Operazioni con numeri reali

Con i numeri reali puoi eseguire le operazioni che vengono eseguite con gli altri insiemi di numeri, tra cui addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenziamento, radicazione, logaritmi e altro.

Come sempre, la divisione per 0 non è definita, così come i logaritmi dei numeri negativi o 0, sebbene sia vero che log 1 = 0 e che i logaritmi dei numeri compresi tra 0 e 1 siano negativi.

applicazioni

Le applicazioni dei numeri reali a tutti i tipi di situazioni sono estremamente varie. I numeri reali appaiono come risposte a molti problemi di scienza esatta, informatica, ingegneria, economia e scienze sociali.

Tutti i tipi di grandezza e quantità come distanze, tempi, forze, intensità del suono, denaro e molti altri hanno la loro espressione in numeri reali.

La trasmissione dei segnali telefonici, l'immagine e il suono di un video, la temperatura di un condizionatore, di una stufa o di un frigorifero possono essere controllati digitalmente, il che significa trasformare grandezze fisiche in sequenze numeriche.

Lo stesso accade quando si effettua una transazione bancaria su Internet o si consulta la messaggistica istantanea. I numeri reali sono ovunque.

Esercizio risolto

Vedremo con esercizi come funzionano questi numeri in situazioni comuni che incontriamo quotidianamente.

Esercizio 1

L'ufficio postale accetta solo pacchi per i quali la lunghezza, più la misura della circonferenza, non supera i 108 pollici. Pertanto, affinché il pacchetto visualizzato venga accettato, è necessario che:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Riuscirà un pacco largo 6 pollici, alto 8 pollici e lungo 5 piedi?

b) Che ne dici di uno che misura 2 x 2 x 4 piedi ³ ?

c) Qual è l'altezza massima accettabile per un pacco la cui base è quadrata e misura 9 x 9 pollici ² ?

Rispondi a

L = 5 piedi = 60 pollici

x = 6 pollici

y = 8 pollici

L'operazione da risolvere è:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) pollici = 60 + 2 x 14 pollici = 60 + 28 pollici = 88 pollici

Il pacchetto è accettato.

Risposta b

Le dimensioni di questo pacchetto sono più piccole del pacchetto a), quindi entrambi riescono a passare.

Risposta c

In questo pacchetto:

x = L = 9 pollici

Va osservato che:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2 anni ≤ 108

2y ≤ 81

e ≤ 40,5 pollici

Riferimenti

1. Carena, M. 2019. Manuale di matematica pre-universitaria. Università Nazionale del Litorale.
2. Diego, A. Numeri reali e loro proprietà. Estratto da: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Matematica 9th. Grado. Edizioni CO-BO.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5 °. Edizione. Cengage Learning.