NUMERI PRIMI: CARATTERISTICHE, ESEMPI, ESERCIZI - MATEMATICA - 2024

I numeri primi , chiamati anche primi assoluti, sono quei numeri naturali che sono divisibili solo per se stessi e 1. Numeri di questa categoria come 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e molti più.

Invece, un numero composto è divisibile per se stesso, per 1 e almeno un altro numero. Abbiamo ad esempio 12, che è divisibile per 1, 2, 4, 6 e 12. Per convenzione, 1 non è incluso nell'elenco dei numeri primi o nell'elenco dei composti.

Figura 1. Alcuni numeri primi. Fonte: Wikimedia Commons.

La conoscenza dei numeri primi risale a tempi antichi; gli antichi egizi li usavano già ed erano sicuramente conosciuti molto prima.

Questi numeri sono molto importanti, poiché qualsiasi numero naturale può essere rappresentato dal prodotto di numeri primi, essendo questa rappresentazione unica, tranne che nell'ordine dei fattori.

Questo fatto è pienamente stabilito in un teorema chiamato Teorema fondamentale dell'aritmetica, che afferma che i numeri che non sono primi sono necessariamente costituiti da prodotti di numeri che lo sono.

Caratteristiche dei numeri primi

Ecco le principali caratteristiche dei numeri primi:

-Sono infinite, poiché non importa quanto grande sia un numero primo, puoi sempre trovarne uno maggiore.

-Se un numero primo p non divide esattamente un altro numero a, allora si dice che p e a sono primi tra loro. Quando ciò accade, l'unico divisore comune che hanno entrambi è 1.

Non è necessario che a sia un numero primo assoluto. Ad esempio, 5 è primo e, sebbene 12 non lo sia, entrambi i numeri sono primi l'uno per l'altro, poiché entrambi hanno 1 come divisore comune.

-Quando un numero primo p divide una potenza del numero n, divide anche n. Consideriamo 100, che è una potenza di 10, in particolare 10 ² . Succede che 2 divide sia 100 che 10.

-Tutti i numeri primi sono dispari tranne 2, quindi la sua ultima cifra è 1, 3, 7 o 9. 5 non è incluso, perché sebbene sia dispari e primo, non è mai la cifra finale di un altro numero primo. Infatti tutti i numeri che finiscono per 5 sono multipli di questo e quindi non sono primi.

-Se p è un primo e un divisore del prodotto di due numeri ab, allora p ne divide uno. Ad esempio, il numero primo 3 divide il prodotto 9 x 11 = 99, poiché 3 è un divisore di 9.

Come sapere se un numero è primo

La primalità è il nome dato alla qualità dell'essere primo. Ebbene, il matematico francese Pierre de Fermat (1601-1665) ha trovato un modo per verificare la primalità di un numero, nel cosiddetto teorema piccolo di Fermat, che dice:

"Dato un numero naturale primo pe qualsiasi numero naturale maggiore di 0, è vero che a ^p - a è un multiplo di p, fintanto che p è primo".

Possiamo corroborare questo usando piccoli numeri, per esempio supponiamo che p = 4, che già sappiamo non è primo e già = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296-6 = 1290

Il numero 1290 non è esattamente divisibile per 4, quindi 4 non è un numero primo.

Facciamo ora il test con p = 5, che è primo e ya = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766-6 = 7760

7760 è divisibile per 5, poiché qualsiasi numero che termina con 0 o 5 lo è. Infatti 7760/5 = 1554. Poiché vale il piccolo teorema di Fermat, possiamo garantire che 5 sia un numero primo.

La dimostrazione attraverso il teorema è efficace e diretta con numeri piccoli, in cui l'operazione è di facile esecuzione, ma cosa fare se ci viene chiesto di scoprire la primalità di un numero grande?

In tal caso, il numero viene diviso successivamente tra tutti i numeri primi più piccoli, finché non viene trovata una divisione esatta o il quoziente è inferiore al divisore.

Se una qualsiasi divisione è esatta, significa che il numero è composto e se il quoziente è inferiore al divisore, significa che il numero è primo. Lo metteremo in pratica nell'esercizio risolto 2.

Modi per trovare un numero primo

Esistono infiniti numeri primi e non esiste un'unica formula per determinarli. Tuttavia, guardando alcuni numeri primi come questi:

3, 7, 31, 127 …

Si osserva che sono della forma 2 ⁿ - 1, con n = 2, 3, 5, 7, 9 … Ci assicuriamo di questo:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3 ; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7 ; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31 ; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Ma non possiamo garantire che in generale 2 ⁿ - 1 sia primo, perché ci sono alcuni valori di n per i quali non funziona, ad esempio 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

E il numero 15 non è primo, poiché termina con 5. Tuttavia, uno dei più grandi numeri primi conosciuti, trovato dai calcoli del computer, è della forma 2 ⁿ - 1 con:

n = 57.885.161

La formula di Mersenne ci assicura che 2 ^p - 1 è sempre primo, purché anche p sia primo. Ad esempio, 31 è primo, quindi è certo che 2 ³¹ - 1 è anche primo :

2 ³¹ - 1 = 2.147.483.647

Tuttavia, la formula ti consente di determinare solo alcuni numeri primi, non tutti.

Formula di Eulero

Il seguente polinomio consente di trovare numeri primi a condizione che n sia compreso tra 0 e 39:

P (n) = n ² + n + 41

Più avanti nella sezione esercizi risolti c'è un esempio del suo utilizzo.

Il setaccio di Eratostene

Eratostene era un fisico e matematico dell'Antica Grecia che visse nel III secolo aC Ha ideato un metodo grafico per trovare i numeri primi che possiamo mettere in pratica con piccoli numeri, è chiamato il setaccio di Eratostene (un setaccio è come un setaccio).

-I numeri sono posti in una tabella come quella mostrata nell'animazione.

-I numeri pari vengono quindi cancellati, ad eccezione del 2 che sappiamo essere primo. Tutti gli altri sono multipli di questo e quindi non sono primi.

-Sono contrassegnati anche i multipli di 3, 5, 7 e 11, escludendoli tutti perché sappiamo che sono primi.

-I multipli di 4, 6, 8, 9 e 10 sono già segnati, perché sono composti e quindi multipli di alcuni dei numeri primi indicati.

-Infine, i numeri che rimangono non contrassegnati sono primi.

Figura 2. Animazione del setaccio di Eratostene. Fonte: Wikimedia Commons.

esercizi

- Esercizio 1

Utilizzando il polinomio di Eulero per i numeri primi, trova 3 numeri maggiori di 100.

Soluzione

Questo è il polinomio proposto da Eulero per trovare i numeri primi, che funziona per valori di n compresi tra 0 e 39.

P (n) = n ² + n + 41

Per tentativi ed errori selezioniamo un valore di n, ad esempio n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Poiché n = 8 produce un numero primo maggiore di 100, allora valutiamo il polinomio per n = 9 en = 10:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- Esercizio 2

Scopri se i seguenti numeri sono primi:

a) 13

b) 191

Soluzione a

Il 13 è abbastanza piccolo da poter usare il piccolo teorema di Fermat e l'aiuto della calcolatrice.

Usiamo a = 2 in modo che i numeri non siano troppo grandi, sebbene si possa usare anche a = 3, 4 o 5:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 è divisibile per 2, poiché è pari, quindi 13 è primo. Il lettore può confermare ciò facendo lo stesso test con a = 3.

Soluzione b

191 è troppo grande per dimostrarlo con il teorema e una calcolatrice comune, ma possiamo trovare la divisione tra ogni numero primo. Omettiamo la divisione per 2 perché 191 non è pari e la divisione non sarà esatta o il quoziente è inferiore a 2.

Proviamo a dividere per 3:

191/3 = 63.666 …

E non dà esatto, né il quoziente è inferiore al divisore (63.666 … è maggiore di 3)

Continuiamo così cercando di dividere 191 tra i primi 5, 7, 11, 13 e non viene raggiunta né la divisione esatta, né il quoziente inferiore al divisore. Fino a quando non viene diviso per 17:

191/17 = 11, 2352 …

Poiché non è esatto e 11,2352 … è inferiore a 17, il numero 191 è un numero primo.

Riferimenti

1. Baldor, A. 1986. Aritmetica. Edizioni e Distribuzioni Codex.
2. Prieto, C. I numeri primi. Estratto da: paginas.matem.unam.mx.
3. Proprietà dei numeri primi. Recupero da: mae.ufl.edu.
4. Smartick. Numeri primi: come trovarli con il setaccio di Eratostene. Recupero da: smartick.es.
5. Wikipedia. Numero primo. Estratto da: es.wikipedia.org.