NUMERI INTERI: PROPRIETÀ, ESEMPI, ESERCIZI - MATEMATICA - 2026

Gli interi sono un insieme di numeri utili per contare gli oggetti completi che possiedono e non hanno. Anche per contare chi sta da una parte e dall'altra di un certo luogo di riferimento.

Anche con i numeri interi si può effettuare la sottrazione o differenza tra un numero e un altro maggiore di esso, venendo ad esempio saldato il risultato come debito. La distinzione tra guadagni e debiti viene effettuata rispettivamente con i segni + e -.

Figura 1. La linea numerica per i numeri interi. Fonte: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Pertanto, l'insieme di numeri interi include quanto segue:

-I numeri interi positivi, che vengono scritti preceduti da un segno +, o semplicemente senza segno, poiché si intende anche che sono positivi. Ad esempio: +1, +2, + 3 … e così via.

-Lo 0, in cui il segno è irrilevante, poiché non importa sommarlo per sottrarlo da una certa quantità. Ma 0 è molto importante, poiché è il riferimento per gli interi: da una parte ci sono i positivi e dall'altra i negativi, come si vede in figura 1.

-I numeri interi negativi, che devono essere sempre scritti preceduti dal segno -, poiché distinguono importi come debiti e tutti quelli che stanno dall'altra parte del riferimento. Esempi di numeri interi negativi sono: -1, -2, -3 … e successivamente.

Come vengono rappresentati i numeri interi?

All'inizio rappresentiamo i numeri interi con la notazione dell'insieme: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, cioè liste e organizzato. Ma una rappresentazione molto utile è quella usata dalla linea numerica. Ciò richiede di disegnare una linea, generalmente orizzontale, sulla quale è segnato lo 0 e diviso in sezioni identiche:

Figura 2. Rappresentazione di numeri interi sulla retta numerica. Da 0 a destra sono gli interi positivi e da 0 a sinistra quelli negativi. Fonte: F. Zapata.

I negativi vanno a sinistra di 0 e i positivi vanno a destra. Le frecce sulla linea numerica simboleggiano che i numeri vanno all'infinito. Dato qualsiasi numero intero, è sempre possibile trovarne uno maggiore o un altro minore.

Il valore assoluto di un numero intero

Il valore assoluto di un numero intero è la distanza tra il numero e 0. E le distanze sono sempre positive. Pertanto il valore assoluto dell'intero negativo è il numero senza il segno meno.

Ad esempio, il valore assoluto di -5 è 5. Il valore assoluto è indicato da barre, come segue:

-5- = 5

Per visualizzarlo basta contare gli spazi sulla retta numerica, da -5 a 0. Mentre il valore assoluto di un intero positivo è lo stesso numero, ad esempio - + 3- = 3, poiché la sua distanza da 0 è con 3 spazi:

Figura 3. Il valore assoluto di un numero intero è sempre una quantità positiva. Fonte: F. Zapata.

Proprietà

-L'insieme di numeri interi è indicato come Z e include l'insieme di numeri naturali N, i cui elementi sono infiniti.

-Un numero intero e quello che segue (o quello che lo precede) sono sempre differenziati in unità. Ad esempio, dopo 5 viene 6, dove 1 è la differenza tra loro.

-Ogni numero intero ha un predecessore e un successore.

-Qualsiasi numero intero positivo è maggiore di 0.

-Un numero intero negativo è sempre minore di 0 e qualsiasi numero positivo. Prendiamo ad esempio il numero -100, questo è minore di 2, di 10 e di 50. Ma è anche minore di -10, -20 e -99 ed è maggiore di -200.

-Lo 0 non ha considerazioni sul segno, poiché non è né negativo né positivo.

-Con i numeri interi è possibile eseguire le stesse operazioni che si fanno con i numeri naturali, ovvero: addizione, sottrazione, moltiplicazione, potenziamento e altro.

-Il numero intero opposto a un certo numero intero x, è –x e la somma di un intero con il suo opposto è 0:

x + (-x) = 0.

Operazioni con numeri interi

- Somma

-Se i numeri da sommare hanno lo stesso segno, vengono sommati i loro valori assoluti e il risultato viene posto con il segno che hanno gli addendi. Ecco alcuni esempi:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Se i numeri sono di segno diverso, i valori assoluti vengono sottratti (il più alto dal più basso) e il risultato viene posizionato con il segno del numero con il valore assoluto più alto, come segue:

a) (-8) + (21) = 21-8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Proprietà della somma degli interi

-La somma è commutativa, quindi l'ordine degli addendi non altera la somma. Siano aeb due numeri interi, è vero che a + b = b + a

-Lo 0 è l'elemento neutro della somma degli interi: a + 0 = a

-Qualsiasi numero intero aggiunto al suo opposto è 0. L'opposto di + a è –a, e viceversa, l'opposto di –a è + a. Quindi: (+ a) + (-a) = 0.

Figura 2. Regola dei segni per l'aggiunta di numeri interi. Fonte: Wikimedia Commons.

- Sottrazione

Per sottrarre numeri interi, bisogna essere guidati da questa regola: la sottrazione equivale alla somma di un numero con il suo opposto. Siano aeb due numeri, quindi:

a - b = a + (-b)

Ad esempio, supponiamo di dover eseguire la seguente operazione: (-3) - (+7), quindi:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Moltiplicazione

La moltiplicazione dei numeri interi segue alcune regole per i segni:

-Il prodotto di due numeri con lo stesso segno è sempre positivo.

-Quando vengono moltiplicati due numeri con segni diversi, il risultato è sempre negativo.

-Il valore del prodotto è uguale alla moltiplicazione dei rispettivi valori assoluti.

Subito alcuni esempi che chiariscono quanto sopra:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Proprietà di moltiplicazione di interi

-La moltiplicazione è commutativa. Siano aeb due numeri interi, è vero che: ab = ba, che può anche essere espresso come:

-L'elemento neutro della moltiplicazione è 1. Sia a un numero intero, quindi a.1 = 1

-Qualsiasi numero intero moltiplicato per 0 è uguale a 0: a.0 = 0

La proprietà distributiva

La moltiplicazione è conforme alla proprietà distributiva rispetto all'addizione. Se a, bec sono numeri interi, allora:

a. (b + c) = ab + ac

Ecco un esempio di come applicare questa proprietà:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3) .11 = 12-33 = 12 + (-33) = -21

Potenziamento

-Se la base è positiva, il risultato dell'operazione è sempre positivo.

-Quando la base è negativa, se l'esponente è pari, il risultato è positivo. e se l'esponente è dispari, il risultato è negativo.

- Divisione

Le stesse regole sui segni si applicano nella divisione come nella moltiplicazione:

-Quando si dividono due numeri interi dello stesso segno, il risultato è sempre positivo.

-Quando vengono divisi due numeri interi con segni diversi, il quoziente è negativo.

Per esempio:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Importante : la divisione non è commutativa, in altre parole a ÷ b ≠ b ÷ a e come sempre la divisione per 0 non è consentita.

- Potenziamento

Sia a un intero e vogliamo elevarlo a un esponente n, quindi dobbiamo moltiplicare a per se stesso n volte, come mostrato di seguito:

a ⁿ = aaaa… .. .a

Considera anche quanto segue, tenendo conto che n è un numero naturale:

-Se a è negativo e n è pari, il risultato è positivo.

-Quando a è negativo e n è dispari, risulta un numero negativo.

-Se a è positivo e n è pari o dispari, risulta sempre un numero intero positivo.

-Qualsiasi numero intero elevato a 0 è uguale a 1: a ⁰ = 1

-Qualsiasi numero elevato a 1 è uguale al numero: a ¹ = a

Supponiamo ad esempio di voler trovare (–3) ⁴ , per farlo moltiplichiamo (-3) quattro volte per se stesso, in questo modo: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Un altro esempio, anche con un numero intero negativo è:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Prodotto di potenze di uguale base

Supponiamo due potenze di base uguale, se le moltiplichiamo otteniamo un'altra potenza con la stessa base, il cui esponente è la somma degli esponenti dati:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

Quoziente delle potenze di base uguale

Quando si dividono potenze di base uguale, il risultato è una potenza con la stessa base, il cui esponente è la sottrazione degli esponenti dati:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

Ecco due esempi che chiariscono questi punti:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

Esempi

Vediamo semplici esempi per applicare queste regole, ricordando che nel caso di interi positivi si può fare a meno del segno:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4-25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8-15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Una formica si muove lungo la retta numerica in figura 1. Partendo dal punto x = +3, effettua i seguenti movimenti:

-Muove 7 unità a destra

-Ora torni 5 unità a sinistra

-Cammina altre 3 unità a sinistra.

-Ritorna indietro e si sposta di 4 unità a destra.

A che punto è la formica alla fine del tour?

Soluzione

Chiamiamo gli spostamenti D. Quando sono a destra viene dato un segno positivo e quando sono a sinistra un segno negativo. In questo modo, e partendo da x = +3 abbiamo:

-Primo D: x ₁ = +3 + 7 = +10

-Secondo D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-Terza Re: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Stanza D: x ₄ = +2 + 4 = +6

Quando la formica finisce la sua passeggiata, è nella posizione x = +6. Cioè, sono 6 unità a destra dello 0 sulla linea numerica.

- Esercizio 2

Risolvi la seguente operazione:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Soluzione

Questa operazione contiene segni di raggruppamento, che sono parentesi, parentesi quadre e parentesi graffe. Durante la risoluzione, devi prima occuparti delle parentesi, poi delle parentesi e infine delle parentesi graffe. In altre parole, devi lavorare dall'interno verso l'esterno.

In questo esercizio, il punto rappresenta una moltiplicazione, ma se non c'è punto tra un numero e una parentesi o un altro simbolo, si intende anche un prodotto.

Sotto la risoluzione passo passo, i colori servono come guida per seguire il risultato della riduzione delle parentesi, che sono i simboli di raggruppamento più interni:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- Esercizio 3

Risolvi l'equazione di primo grado:

12 + x = 30 + 3x

Soluzione

I termini sono raggruppati con l'ignoto a sinistra dell'uguaglianza e i termini numerici a destra:

x - 3x = 30-12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

Riferimenti

1. Carena, M. 2019. Manuale di matematica pre-universitaria. Università Nazionale del Litorale.
2. Figuera, J. 2000. Matematica di settimo grado. Edizioni CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Selezione di argomenti di matematica. Pubblicazioni Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. I numeri interi. Estratto da: Cimanet.uoc.edu.