NUMERI COMPLESSI: PROPRIETÀ, ESEMPI, OPERAZIONI - MATEMATICA - 2026

I numeri complessi sono l'insieme numerico che copre i numeri reali e tutte le radici dei polinomi comprese le radici delle coppie di numeri negativi. Queste radici non esistono nell'insieme dei numeri reali, ma nei numeri complessi c'è la soluzione.

Un numero complesso è costituito da una parte reale e da una parte chiamata "immaginaria". La parte reale è chiamata a, per esempio, e la parte immaginaria ib, con aeb numeri reali e "i" come unità immaginaria. In questo modo il numero complesso assume la forma:

Figura 1.- Rappresentazione binomiale di un numero complesso in termini di parte reale e parte immaginaria. Fonte: Pixabay.

Esempi di numeri complessi sono 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Ma prima di operare con loro, vediamo da dove ha origine l'unità immaginaria i, considerando questa equazione quadratica:

x ² - 10x + 34 = 0

In cui a = 1, b = -10 ec = 34.

Quando si applica la formula risolutiva per determinare la soluzione, troviamo quanto segue:

Come determinare il valore di √-36? Non esiste un numero reale che al quadrato produca una quantità negativa. Quindi si conclude che questa equazione non ha soluzioni reali.

Tuttavia, possiamo scrivere questo:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Se definiamo un certo valore x tale che:

x ² = -1

Così:

x = ± √-1

E l'equazione di cui sopra avrebbe una soluzione. Pertanto, l'unità immaginaria è stata definita come:

io = √-1

E così:

√-36 = 6i

Molti matematici dell'antichità lavorarono per risolvere problemi simili, in particolare il rinascimentale Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) e Raffaele Bombelli (1526-1572).

Anni dopo René Descartes (1596-1650) chiamò le quantità "immaginarie" come √-36 nell'esempio. Per questo motivo √-1 è noto come unità immaginaria.

Proprietà dei numeri complessi

-L'insieme di numeri complessi è indicato come C e include i numeri reali R e i numeri immaginari Im. I set di numeri sono rappresentati in un diagramma di Venn, come mostrato nella figura seguente:

Figura 2. Diagramma di Venn delle serie di numeri. Fonte: F. Zapata.

-Tutto il numero complesso è costituito da una parte reale e una parte immaginaria.

-Quando la parte immaginaria di un numero complesso è 0, è un numero reale puro.

-Se la parte reale di un numero complesso è 0, il numero è puro immaginario.

-Due numeri complessi sono uguali se la rispettiva parte reale e parte immaginaria sono uguali.

-Con numeri complessi, vengono eseguite le operazioni note di addizione, sottrazione, moltiplicazione, prodotto e miglioramento, risultando in un altro numero complesso.

Rappresentazione di numeri complessi

I numeri complessi possono essere rappresentati in vari modi. Ecco i principali:

- Forma binomiale

È la forma data all'inizio, dove z è il numero complesso, a è la parte reale, b è la parte immaginaria e i è l'unità immaginaria:

O anche:

Un modo per rappresentare graficamente il numero complesso è attraverso il piano complesso mostrato in questa figura. L'asse immaginario Im è verticale, mentre l'asse reale è orizzontale ed è indicato come Re.

Il numero complesso z è rappresentato in questo piano come un punto di coordinate (x, y) o (a, b), proprio come si fa con i punti del piano reale.

La distanza dall'origine al punto z è il modulo del numero complesso, indicato con r, mentre φ è l'angolo che r fa con l'asse reale.

Figura 3. Rappresentazione di un numero complesso nel piano complesso. Fonte: Wikimedia Commons.

Questa rappresentazione è strettamente correlata a quella dei vettori nel piano reale. Il valore di r corrisponde al modulo del numero complesso.

- Forma polare

La forma polare consiste nell'esprimere il numero complesso fornendo i valori di re di φ. Se guardiamo la figura, il valore di r corrisponde all'ipotenusa di un triangolo rettangolo. Le gambe valgono aeb, o xey.

Dalla forma binomiale o binomiale, possiamo passare alla forma polare:

L'angolo φ è quello formato dal segmento r con l'asse orizzontale o l'asse immaginario. È noto come argomento del numero complesso. In questo modo:

L'argomento ha valori infiniti, tenendo conto che ogni volta che si gira una svolta, che vale 2π radianti, r occupa nuovamente la stessa posizione. In questo modo generale, l'argomento di z, indicato con Arg (z), è espresso in questo modo:

Dove k è un numero intero e viene utilizzato per indicare il numero di giri girati: 2, 3, 4…. Il segno indica il senso di rotazione, se è in senso orario o antiorario.

Figura 4. Rappresentazione polare di un numero complesso nel piano complesso. Fonte: Wikimedia Commons.

E se vogliamo passare dalla forma polare alla forma binomiale, usiamo i rapporti trigonometrici. Dalla figura precedente possiamo vedere che:

x = r cos φ

y = r sin φ

In questo modo z = r (cos φ + i sin φ)

Che è abbreviato in questo modo:

z = r cis φ

Esempi di numeri complessi

I seguenti numeri complessi sono forniti in forma binomiale:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

E questi sotto forma di una coppia ordinata:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7.0)

Infine, questo gruppo è dato in forma polare o trigonometrica:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315º

A cosa servono?

L'utilità dei numeri complessi va oltre la risoluzione dell'equazione quadratica mostrata all'inizio, poiché sono essenziali nel campo dell'ingegneria e della fisica, soprattutto in:

-Lo studio delle onde elettromagnetiche

-Analisi della corrente alternata e della tensione

-La modellazione di tutti i tipi di segnali

-Teoria della relatività, dove il tempo è assunto come una grandezza immaginaria.

Operazioni con numeri complessi

Con numeri complessi possiamo eseguire tutte le operazioni che si fanno con quelli reali. Alcuni sono più facili da fare se i numeri sono in forma binomiale, come addizione e sottrazione. Al contrario, la moltiplicazione e la divisione sono più semplici se vengono eseguite con la forma polare.

Vediamo alcuni esempi:

- Esempio 1

Aggiungi z ₁ = 2 + 5i ez ₂ = -3 -8i

Soluzione

Le parti reali vengono aggiunte separatamente dalle parti immaginarie:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Esempio 2

Moltiplicare z ₁ = 4 cis 45º ez ₂ = 5 cis 120º

Soluzione

Si può dimostrare che il prodotto di due numeri complessi in forma polare o trigonometrica è dato da:

z ₁ . z ₂ = r ₁ .r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂ )

Secondo questo:

z ₁ . z ₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

Applicazione

Una semplice applicazione di numeri complessi è trovare tutte le radici di un'equazione polinomiale come quella mostrata all'inizio dell'articolo.

Nel caso dell'equazione x ² - 10x + 34 = 0, applicando la formula risolutiva si ottiene:

Pertanto le soluzioni sono:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

Riferimenti

1. Earl, R. Numeri complessi. Estratto da: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematica 1st. Diversificato. Edizioni CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Selezione di argomenti di matematica. Pubblicazioni Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Numeri complessi. Estratto da: en.wikipedia.org