La matematica discreta corrisponde a un'area della matematica responsabile dello studio dell'insieme dei numeri naturali; cioè l'insieme dei numeri numerabili finiti e infiniti dove gli elementi possono essere contati separatamente, uno per uno.

Questi insiemi sono noti come insiemi discreti; Un esempio di questi insiemi sono numeri interi, grafici o espressioni logiche e sono applicati in diversi campi della scienza, principalmente in informatica o informatica.

Descrizione

Nella matematica discreta i processi sono numerabili, sono basati su numeri interi. Ciò significa che non vengono utilizzati numeri decimali e, pertanto, non vengono utilizzati approssimazioni o limiti, come in altre aree. Ad esempio, uno sconosciuto può essere uguale a 5 o 6, ma mai 4,99 o 5,9.

Nella rappresentazione grafica invece le variabili saranno discrete e sono date da un insieme finito di punti, che vengono contati uno per uno, come mostrato nell'immagine:

La matematica discreta nasce dalla necessità di ottenere uno studio esatto che possa essere combinato e testato, al fine di applicarlo in ambiti differenti.

A cosa serve la matematica discreta?

La matematica discreta viene utilizzata in più aree. Tra i principali ci sono i seguenti:

combinatoria

Studia insiemi finiti in cui gli elementi possono essere ordinati o combinati e contati.

Teoria della distribuzione discreta

Studia eventi che si verificano in spazi in cui i campioni possono essere numerabili, in cui vengono utilizzate distribuzioni continue per approssimare distribuzioni discrete, o viceversa.

Teoria dell'informazione

Si riferisce alla codifica delle informazioni, utilizzata per la progettazione, la trasmissione e l'archiviazione di dati, come i segnali analogici.

Computing

Attraverso la matematica discreta, i problemi vengono risolti utilizzando algoritmi, così come ciò che può essere calcolato e il tempo necessario per farlo (complessità).

L'importanza della matematica discreta in quest'area è aumentata negli ultimi decenni, soprattutto per lo sviluppo di linguaggi di programmazione e software.

Crittografia

Si basa su una matematica discreta per creare strutture di sicurezza o metodi di crittografia. Un esempio di questa applicazione sono le password, che inviano separatamente bit contenenti informazioni.

Attraverso lo studio delle proprietà degli interi e dei numeri primi (teoria dei numeri) questi metodi di sicurezza possono essere creati o distrutti.

Logica

Le strutture discrete, che generalmente formano un insieme finito, vengono utilizzate per dimostrare teoremi o, ad esempio, verificare il software.

Teoria dei grafi

Permette la risoluzione di problemi logici, utilizzando nodi e linee che formano un tipo di grafico, come mostrato nell'immagine seguente:

In matematica ci sono diversi insiemi che raggruppano determinati numeri in base alle loro caratteristiche. Quindi, ad esempio, abbiamo:

- Insieme di numeri naturali N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,… + ∞}.

- Insieme di numeri interi E = {-∞…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… + ∞}.

- Sottoinsieme di numeri razionali Q * = {-∞…, - ¼, - ½, 0, ¼, ½,… ∞}.

- Insieme di numeri reali R = {-∞…, - ½, -1, 0, ½, 1,… ∞}.

I set sono denominati con lettere maiuscole dell'alfabeto; mentre gli elementi sono denominati in lettere minuscole, tra parentesi graffe ({}) e separati da virgole (,). Sono generalmente rappresentati in diagrammi come Venn e Caroll, oltre che a livello computazionale.

Con operazioni di base come unione, intersezione, complemento, differenza e prodotto cartesiano, gli insiemi ei loro elementi vengono gestiti, in base alla relazione di appartenenza.

Esistono diversi tipi di insiemi, i più studiati in matematica discreta sono i seguenti:

Insieme finito

È uno che ha un numero finito di elementi e che corrisponde a un numero naturale. Quindi, ad esempio, A = {1, 2, 3,4} è un insieme finito che ha 4 elementi.

Set di contabilità infinito

È quello in cui c'è una corrispondenza tra gli elementi di un insieme e i numeri naturali; vale a dire, da un elemento tutti gli elementi di un insieme possono essere elencati successivamente.

In questo modo, ogni elemento corrisponderà a ciascun elemento dell'insieme dei numeri naturali. Per esempio:

L'insieme di numeri interi Z = {… -2, -1, 0, 1, 2…} può essere elencato come Z = {0, 1, -1, 2, -2…}. In questo modo è possibile effettuare una corrispondenza uno a uno tra gli elementi di Z ed i numeri naturali, come si può vedere nell'immagine seguente: