ALGEBRA VETTORIALE: FONDAMENTALI, GRANDEZZE, VETTORI - MATEMATICA

L' algebra vettoriale è una branca della matematica che studia sistemi di equazioni lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali e trasformazioni lineari. È correlato ad aree come ingegneria, risoluzione di equazioni differenziali, analisi funzionale, ricerca operativa, computer grafica, tra gli altri.

Un altro ambito che l'algebra lineare ha adottato è quello della fisica, poiché attraverso questo è stato possibile sviluppare lo studio dei fenomeni fisici, descrivendoli attraverso l'uso di vettori. Ciò ha reso possibile una migliore comprensione dell'universo.

fondamenti

L'algebra vettoriale ha avuto origine dallo studio dei quaternioni (estensione dei numeri reali) 1, i, j e k, nonché dalla geometria cartesiana promossa da Gibbs e Heaviside, che si sono resi conto che i vettori sarebbero serviti come strumento per rappresentano vari fenomeni fisici.

L'algebra vettoriale viene studiata attraverso tre fondamenti:

Geometricamente

I vettori sono rappresentati da linee che hanno un orientamento e operazioni come addizione, sottrazione e moltiplicazione per numeri reali sono definite tramite metodi geometrici.

Analiticamente

La descrizione dei vettori e delle loro operazioni viene eseguita con numeri, chiamati componenti. Questo tipo di descrizione è il risultato di una rappresentazione geometrica perché viene utilizzato un sistema di coordinate.

assiomaticamente

Viene eseguita una descrizione dei vettori, indipendentemente dal sistema di coordinate o da qualsiasi tipo di rappresentazione geometrica.

Lo studio delle figure nello spazio avviene attraverso la loro rappresentazione in un sistema di riferimento, che può essere in una o più dimensioni. Tra i principali sistemi ci sono:

- Sistema unidimensionale, che è una linea in cui un punto (O) rappresenta l'origine e un altro punto (P) determina la scala (lunghezza) e la sua direzione:

- Sistema di coordinate rettangolare (bidimensionale), che è composto da due linee perpendicolari chiamate asse x e asse y, che passano per un'origine punto (O); in questo modo il piano viene diviso in quattro regioni chiamate quadranti. In questo caso un punto (P) nel piano è dato dalle distanze che esistono tra gli assi e P.

- Sistema di coordinate polari (bidimensionale). In questo caso il sistema è composto da un punto O (origine) che si chiama polo e da un raggio con origine in O chiamato asse polare. In questo caso il punto P del piano, con riferimento al polo e all'asse polare, è dato dall'angolo (Ɵ), che è formato dalla distanza che esiste tra l'origine e il punto P.

- Sistema tridimensionale rettangolare, formato da tre rette perpendicolari (x, y, z) la cui origine è un punto O nello spazio. Si formano tre piani di coordinate: xy, xz e yz; lo spazio sarà suddiviso in otto regioni chiamate ottanti. Il riferimento di un punto P nello spazio è dato dalle distanze che esistono tra i piani e P.

grandezze

Una grandezza è una grandezza fisica che può essere contata o misurata attraverso un valore numerico, come nel caso di alcuni fenomeni fisici; tuttavia, molte volte è necessario poter descrivere questi fenomeni con fattori diversi da quelli numerici. Ecco perché le grandezze sono classificate in due tipi:

Magnitudine scalare

Sono quelle quantità che vengono definite e rappresentate numericamente; cioè da un modulo insieme ad un'unità di misura. Per esempio:

a) Tempo: 5 secondi.

b) Massa: 10 kg.

c) Volume: 40 ml.

d) Temperatura: 40 ºC.

Magnitudine del vettore

Sono quelle quantità che sono definite e rappresentate da un modulo insieme a un'unità, oltre che da un senso e una direzione. Per esempio:

a) Velocità: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Accelerazione: 13 m / s ² ; S 45º E.

c) Forza: 280 N, 120º.

d) Peso: -40 ĵ kg-f.

Le quantità vettoriali sono rappresentate graficamente da vettori.

Cosa sono i vettori?

I vettori sono rappresentazioni grafiche di una quantità di vettore; cioè, sono segmenti di linea in cui la loro estremità finale è la punta di una freccia.

Questi sono determinati dal suo modulo o dalla lunghezza del segmento, dalla sua direzione che è indicata dalla punta della sua freccia e dalla sua direzione secondo la linea a cui appartiene. L'origine di un vettore è anche nota come punto di applicazione.

Gli elementi di un vettore sono i seguenti:

Modulo

È la distanza dall'origine alla fine di un vettore, rappresentata da un numero reale insieme a un'unità. Per esempio:

-OM- = -A- = LA = 6 cm

Indirizzo

È la misura dell'angolo che esiste tra l'asse x (dal positivo) e il vettore, così come vengono utilizzati i punti cardinali (nord, sud, est e ovest).

Senso

È dato dalla punta della freccia situata all'estremità del vettore, che indica dove sta andando.

Classificazione dei vettori

Generalmente, i vettori sono classificati come:

Vettore fisso

È uno il cui punto di applicazione (origine) è fisso; cioè, rimane collegato a un punto nello spazio, quindi non può spostarsi al suo interno.

Vettore gratuito

Può muoversi liberamente nello spazio perché la sua origine si sposta in qualsiasi punto senza cambiare modulo, direzione o direzione.

Vettore di scorrimento

È uno che può trasferire la sua origine lungo la sua linea di azione senza cambiare il suo modulo, direzione o direzione.

Proprietà dei vettori

Tra le principali proprietà dei vettori ci sono le seguenti:

Vettori lenti di squadra

Sono quei vettori liberi che hanno lo stesso modulo, direzione (o sono paralleli) e senso come un vettore scorrevole o un vettore fisso.

Vettori equivalenti

Si verifica quando due vettori hanno la stessa direzione (o sono paralleli), lo stesso senso e, nonostante abbiano moduli e punti di applicazione diversi, provocano gli stessi effetti.

Uguaglianza di vettore

Questi hanno lo stesso modulo, direzione e senso, anche quando i loro punti di partenza sono diversi, il che consente a un vettore parallelo di tradursi senza influenzarlo.

Vettori opposti

Sono quelli che hanno lo stesso modulo e direzione, ma il loro significato è opposto.

Vettore unitario

È quello in cui il modulo è uguale all'unità (1). Questo si ottiene dividendo il vettore per il suo modulo e viene utilizzato per determinare la direzione e il senso di un vettore, nel piano o nello spazio, utilizzando i vettori unitari di base o normalizzati, che sono:

Vettore nullo

È uno il cui modulo è uguale a 0; cioè, il suo punto di origine e fine coincidono nello stesso punto.

Componenti di un vettore

Le componenti di un vettore sono quei valori delle proiezioni del vettore sugli assi del sistema di riferimento; A seconda della scomposizione del vettore, che può essere su due o tre assi, si ottengono rispettivamente due o tre componenti.

I componenti di un vettore sono numeri reali, che possono essere positivi, negativi o addirittura zero (0).

Quindi, se abbiamo un vettore Ā, con origine in un sistema di coordinate rettangolari nel piano xy (bidimensionale), la proiezione sull'asse x è Āx e la proiezione sull'asse y è Āy. Pertanto, il vettore sarà espresso come la somma dei suoi vettori componenti.

Esempi

Primo esempio

Abbiamo un vettore Ā che parte dall'origine e vengono fornite le coordinate delle sue estremità. Quindi, il vettore Ā = (Ā _x , A _y ) = (4, 5) cm.

Se il vettore Ā agisce all'origine di un sistema di coordinate triangolari tridimensionali (nello spazio) x, y, z, fino ad un altro punto (P), le proiezioni sui suoi assi saranno Āx, Āy e Āz; quindi, il vettore sarà espresso come la somma dei suoi tre vettori componenti.

Secondo esempio

Abbiamo un vettore Ā che parte dall'origine e vengono fornite le coordinate delle sue estremità. Quindi, il vettore Ā = (A _x , A _y, A _z ) = (4, 6, -3) cm.

I vettori che hanno le loro coordinate rettangolari possono essere espressi in termini di vettori di base. Per questo, ogni coordinata deve essere moltiplicata solo per il rispettivo vettore unitario, in modo tale che per il piano e lo spazio saranno le seguenti:

Per l'aereo: Ā = A _x i + A _y j.

Per lo spazio: Ā = A _x i + A _y j + A _z k.

Operazioni vettoriali

Ci sono molte quantità che hanno un modulo, un senso e una direzione, come accelerazione, velocità, spostamento, forza, tra gli altri.

Questi sono applicati in varie aree della scienza e per applicarli è necessario in alcuni casi eseguire operazioni come addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione di vettori e scalari.

addizione e sottrazione di vettori

L'addizione e la sottrazione di vettori è considerata una singola operazione algebrica perché la sottrazione può essere scritta come una somma; ad esempio, la sottrazione dei vettori Ā e Ē può essere espressa come:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Esistono diversi metodi per aggiungere e sottrarre vettori: possono essere grafici o analitici.

Metodi grafici

Utilizzato quando un vettore ha modulo, direzione e direzione. Per questo, vengono disegnate delle linee che formano una figura che in seguito aiuta a determinare il risultato. Tra i più noti ci sono i seguenti:

Metodo del parallelogramma

Per fare l'addizione o la sottrazione di due vettori, si sceglie un punto comune sull'asse delle coordinate -che rappresenterà il punto di origine dei vettori-, mantenendone modulo, direzione e direzione.

Le linee vengono quindi tracciate parallelamente ai vettori per formare un parallelogramma. Il vettore risultante è la diagonale che va dal punto di origine di entrambi i vettori al vertice del parallelogramma:

Metodo triangolo

In questo metodo i vettori vengono posizionati uno dopo l'altro, mantenendo i loro moduli, direzioni e direzioni. Il vettore risultante sarà l'unione dell'origine del primo vettore con la fine del secondo vettore:

metodi analitici

Due o più vettori possono essere aggiunti o sottratti tramite un metodo geometrico o vettoriale:

Metodo geometrico

Quando due vettori formano un triangolo o un parallelogramma, m) .push ({});

- Proprietà distributiva scalare: se un vettore viene moltiplicato per la somma di due scalari, è uguale alla moltiplicazione del vettore per ogni scalare.

Moltiplicazione di vettori

La moltiplicazione o il prodotto di vettori potrebbe essere fatta come addizione o sottrazione, ma così facendo perde il significato fisico e non si trova quasi mai nelle applicazioni. Per questo motivo, i tipi di prodotti più comunemente utilizzati sono il prodotto scalare e vettoriale.

Prodotto scalare

È anche noto come prodotto scalare di due vettori. Quando i moduli di due vettori vengono moltiplicati per il coseno dell'angolo più piccolo formato tra di loro, si ottiene uno scalare. Per esprimere un prodotto scalare tra due vettori, viene posto un punto tra di loro e questo può essere definito come:

Il valore dell'angolo che esiste tra i due vettori dipenderà dal fatto che siano paralleli o perpendicolari; quindi, devi:

- Se i vettori sono paralleli e hanno lo stesso senso, coseno 0º = 1.

- Se i vettori sono paralleli e hanno direzioni opposte, coseno 180º = -1.

- Se i vettori sono perpendicolari, coseno 90º = 0.

Quell'angolo può anche essere calcolato sapendo che:

Il prodotto dot ha le seguenti proprietà:

- Proprietà commutativa: l'ordine dei vettori non altera lo scalare.

-Proprietà distributiva: se uno scalare viene moltiplicato per la somma di due vettori, è uguale alla moltiplicazione dello scalare per ogni vettore.

Prodotto vettoriale

La moltiplicazione vettoriale, o prodotto incrociato di due vettori A e B, si tradurrà in un nuovo vettore C ed è espresso utilizzando un incrocio tra i vettori:

Il nuovo vettore avrà le sue caratteristiche. Quel modo:

- La direzione: questo nuovo vettore sarà perpendicolare al piano, che è determinato dai vettori originali.

- La direzione: questa è determinata con la regola della mano destra, dove il vettore A è rivolto verso B, indicando il senso di rotazione con le dita, e la direzione del vettore è segnata con il pollice.

- Il modulo: è determinato dalla moltiplicazione dei moduli dei vettori AxB, dal seno dell'angolo più piccolo che esiste tra questi vettori. È espresso:

Il valore dell'angolo che esiste tra i due vettori dipenderà dal fatto che siano paralleli o perpendicolari. Quindi è possibile affermare quanto segue:

- Se i vettori sono paralleli e hanno lo stesso senso, seno 0º = 0.

- Se i vettori sono paralleli e hanno direzioni opposte, seno 180º = 0.

- Se i vettori sono perpendicolari, seno 90º = 1.

Quando un prodotto vettoriale è espresso in termini di vettori di base, abbiamo: