MORGAN LAWS - MATEMATICA - 2026

Gli occhi di Morgan sono regole di inferenza usate nella logica proposizionale, che stabiliscono quale sia il risultato della negazione di una disgiunzione e di una congiunzione di proposizioni o variabili proposizionali. Queste leggi furono definite dal matematico Augustus De Morgan.

Le leggi di Morgan rappresentano uno strumento molto utile per dimostrare la validità del ragionamento matematico. Successivamente furono generalizzati nel concetto di insiemi dal matematico George Boole.

Questa generalizzazione fatta da Boole è completamente equivalente alle leggi iniziali di Morgan, ma è sviluppata specificamente per gli insiemi piuttosto che per le proposizioni. Questa generalizzazione è anche nota come leggi di Morgan.

Revisione della logica proposizionale

Prima di esaminare cosa sono specificamente le leggi di Morgan e come vengono utilizzate, è utile ricordare alcune nozioni di base della logica proposizionale. (Per maggiori dettagli vedere l'articolo sulla logica proposizionale).

Nel regno della logica matematica (o proposizionale), un'inferenza è una conclusione che viene emessa da un insieme di premesse o ipotesi. Questa conclusione, insieme alle premesse suddette, dà origine a ciò che è noto come ragionamento matematico.

Tale ragionamento deve essere dimostrabile o negato; cioè, non tutte le inferenze o conclusioni nel ragionamento matematico sono valide.

Fallacia

Una falsa inferenza fatta da alcune ipotesi che si presume siano vere è nota come errore. Gli errori hanno la particolarità di essere argomenti che sembrano corretti, ma matematicamente non lo sono.

La logica proposizionale è proprio responsabile dello sviluppo e della fornitura di metodi per mezzo dei quali, senza alcuna ambiguità, un ragionamento matematico può essere convalidato o confutato; cioè dedurre una conclusione valida dalle premesse. Questi metodi sono noti come regole di inferenza, di cui fanno parte le leggi di Morgan.

proposizioni

Gli elementi essenziali della logica proposizionale sono le proposizioni. Le proposizioni sono affermazioni che si possono dire valide o meno, ma non possono essere vere o false allo stesso tempo. Non dovrebbero esserci ambiguità in questa materia.

Così come i numeri possono essere combinati attraverso le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, le proposizioni possono essere gestite mediante i ben noti connettivi logici (o connettori): negazione (¬, "non"), disgiunzione (V , "Or"), congiunzione (Ʌ, "e"), condizionale (→, "se …, allora …") e bicondizionale (↔, "se e solo se").

Per lavorare più in generale, invece di considerare proposizioni specifiche, vengono considerate le variabili proposizionali che rappresentano qualsiasi proposizione, e sono solitamente indicate con lettere minuscole p, q, r, s, ecc.

Una formula proposizionale è una combinazione di variabili proposizionali per mezzo di alcuni dei connettivi logici. In altre parole, è una composizione di variabili proposizionali. Di solito sono indicati con lettere greche.

Si dice che una formula proposizionale ne implica logicamente un'altra quando quest'ultima è vera ogni volta che la prima è vera. Questo è indicato da:

Quando l'implicazione logica tra due formule proposizionali è reciproca - cioè, quando l'implicazione precedente è valida anche in senso opposto - le formule sono dette logicamente equivalenti, ed è denotata da

L'equivalenza logica è una sorta di uguaglianza tra le formule proposizionali e consente di sostituire l'una con l'altra quando necessario.

Leggi di Morgan

Le leggi di Morgan consistono in due equivalenze logiche tra due forme proposizionali, vale a dire:

Queste leggi consentono di separare la negazione di una disgiunzione o congiunzione, come negazioni delle variabili coinvolte.

Il primo può essere letto come segue: la negazione di una disgiunzione è uguale alla congiunzione delle negazioni. E la seconda si legge così: la negazione di una congiunzione è la disgiunzione delle negazioni.

In altre parole, negare la disgiunzione di due variabili proposizionali equivale alla congiunzione delle negazioni di entrambe le variabili. Allo stesso modo, negare la congiunzione di due variabili proposizionali equivale alla disgiunzione delle negazioni di entrambe le variabili.

Come accennato in precedenza, la sostituzione di questa equivalenza logica aiuta a dimostrare risultati importanti, insieme alle altre regole di inferenza esistenti. Con questi puoi semplificare molte formule proposizionali, in modo che siano più utili con cui lavorare.

Quello che segue è un esempio di una dimostrazione matematica che utilizza regole di inferenza, comprese le leggi di Morgan. Nello specifico, è dimostrato che la formula:

È equivalente a:

Quest'ultimo è più semplice da capire e sviluppare.

Dimostrazione

Vale la pena ricordare che la validità delle leggi di Morgan può essere dimostrata matematicamente. Un modo è confrontare le tue tabelle di verità.

Imposta

Le stesse regole di inferenza e le nozioni di logica applicate alle proposizioni possono essere sviluppate anche considerando gli insiemi. Questa è quella che è conosciuta come algebra booleana, dal matematico George Boole.

Per differenziare i casi, è necessario cambiare la notazione e trasferire agli insiemi, tutte le nozioni già viste di logica proposizionale.

Un set è una raccolta di oggetti. Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole A, B, C, X, … e gli elementi di un insieme sono indicati con lettere minuscole a, b, c, x, ecc. Quando un elemento a appartiene a un insieme X, è indicato da:

Quando non appartiene a X, la notazione è:

Il modo per rappresentare gli insiemi è posizionare i loro elementi all'interno di parentesi graffe. Ad esempio, l'insieme dei numeri naturali è rappresentato da:

Gli insiemi possono anche essere rappresentati senza scrivere un elenco esplicito dei loro elementi. Possono essere espressi nella forma {:}. I due punti vengono letti "tali che". A sinistra dei due punti viene posizionata una variabile che rappresenta gli elementi dell'insieme, ea destra è posta la proprietà o condizione che soddisfano. Questo è:

Ad esempio, l'insieme di numeri interi maggiori di -4 può essere espresso come:

O equivalentemente, e più abbreviato, come:

Allo stesso modo, le seguenti espressioni rappresentano rispettivamente gli insiemi di numeri pari e dispari:

Unione, intersezione e complementi di insiemi

Successivamente vedremo gli analoghi dei connettivi logici nel caso degli insiemi, che fanno parte delle operazioni di base tra gli insiemi.

Unione e intersezione

L'unione e l'intersezione degli insiemi sono definite, rispettivamente, come segue:

Ad esempio, considera i set:

Quindi, devi:

Complemento

Il complemento di un insieme è formato dagli elementi che non appartengono a detto insieme (dello stesso tipo che rappresenta l'originale). Il complemento di un insieme A, è indicato da:

Ad esempio, all'interno dei numeri naturali, il complemento dell'insieme dei numeri pari è quello dei numeri dispari e viceversa.

Per determinare il complemento di un insieme, l'insieme principale o universale degli elementi in esame deve essere chiaro fin dall'inizio. Ad esempio, non è lo stesso considerare il complemento di un insieme su numeri naturali come su numeri razionali.

La tabella seguente mostra la relazione o l'analogia che esiste tra le operazioni sugli insiemi precedentemente definiti e i connettivi della logica proposizionale:

Le leggi di Morgan per gli insiemi

Infine, le leggi di Morgan sui set sono:

In parole: il complemento di un'unione è l'intersezione dei complementi, e il complemento di un'intersezione è l'unione dei complementi.

Una prova matematica della prima uguaglianza sarebbe la seguente:

La dimostrazione della seconda è analoga.

Riferimenti

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