LEGGI DEGLI ESPONENTI (CON ESEMPI ED ESERCIZI RISOLTI) - MATEMATICA - 2025

Le leggi degli esponenti sono quelle che si applicano a quel numero che indica quante volte un numero base deve essere moltiplicato per se stesso. Gli esponenti sono anche conosciuti come potenze. L'empowerment è un'operazione matematica formata da una base (a), l'esponente (m) e la potenza (b), che è il risultato dell'operazione.

Gli esponenti sono generalmente usati quando si usano quantità molto grandi, perché queste non sono altro che abbreviazioni che rappresentano la moltiplicazione di uno stesso numero un certo numero di volte. Gli esponenti possono essere sia positivi che negativi.

Spiegazione delle leggi degli esponenti

Come affermato in precedenza, gli esponenti sono una forma abbreviata che rappresenta la moltiplicazione dei numeri per se stessi più volte, dove l'esponente si riferisce solo al numero a sinistra. Per esempio:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

In quel caso il numero 2 è la base della potenza, che verrà moltiplicata 3 volte come indicato dall'esponente, posto nell'angolo in alto a destra della base. Esistono diversi modi per leggere l'espressione: 2 elevato a 3 o anche 2 elevato a cubo.

Gli esponenti indicano anche il numero di volte che possono essere divisi, e per differenziare questa operazione dalla moltiplicazione l'esponente ha davanti il ​​segno meno (-) (è negativo), il che significa che l'esponente è al denominatore di a frazione. Per esempio:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Questo non deve essere confuso con il caso in cui la base è negativa, poiché dipenderà dal fatto che l'esponente sia dispari o pari per determinare se la potenza sarà positiva o negativa. Quindi devi:

- Se l'esponente è pari, la potenza sarà positiva. Per esempio:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- Se l'esponente è dispari, la potenza sarà negativa. Per esempio:

( - 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

C'è un caso particolare in cui se l'esponente è uguale a 0, la potenza è uguale a 1. C'è anche la possibilità che la base sia 0; in quel caso, a seconda dell'esponente, la potenza sarà indeterminata o meno.

Per eseguire operazioni matematiche con esponenti, è necessario seguire diverse regole o norme che rendono più facile trovare la soluzione a tali operazioni.

Prima legge: potenza dell'esponente pari a 1

Quando l'esponente è 1, il risultato sarà lo stesso valore della base: a ¹ = a.

Esempi

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

Seconda legge: potenza dell'esponente pari a 0

Quando l'esponente è 0, se la base è diversa da zero, il risultato sarà: a ⁰ = 1.

Esempi

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

Terza legge: esponente negativo

Poiché l'esponte è negativo, il risultato sarà una frazione, dove la potenza sarà il denominatore. Ad esempio, se m è positivo, allora a ^-m = 1 / a ^m .

Esempi

- ^3-1 = 1/3.

- ^6-2 = 1/6 ² = 1/36.

- ^8-3 = 1/8 ³ = 1/512.

Quarta legge: moltiplicazione dei poteri con base uguale

Per moltiplicare le potenze dove le basi sono uguali e diverse da 0, rimane la base e si sommano gli esponenti: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n} .

Esempi

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

Quinta legge: divisione dei poteri su base uguale

Per dividere le potenze in cui le basi sono uguali e diverse da 0, si mantiene la base e si sottraggono gli esponenti come segue: a ^m / a ⁿ = a ^m-n .

Esempi

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9 ¹ .

- 6 ¹⁵ /6 ^{mese di ottobre} = 6 ^(15-10) = 6 ⁵ .

- 49 ^dicembre / 49 ⁶ = 49 ^(12-6) = 49 ⁶ .

Sesta legge: moltiplicazione dei poteri con base diversa

Questa legge ha l'opposto di ciò che è espresso nella quarta; cioè se si hanno basi diverse ma con gli stessi esponenti, le basi vengono moltiplicate e l'esponente viene mantenuto: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m .

Esempi

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ² .

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹ .

Un altro modo per rappresentare questa legge è quando una moltiplicazione viene elevata a potenza. Pertanto, l'esponente apparterrà a ciascuno dei termini: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m .

Esempi

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴ .

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶ .

Settima legge: divisione dei poteri con base diversa

Se hai basi diverse ma con gli stessi esponenti, dividi le basi e mantieni l'esponente: a ^m / b ^m = (a / b) ^m .

Esempi

- 30 ³ /2 ³ = (2/30) ³ = 15 ³ .

- 440 ⁴ / l'80 ⁴ = (440/80) ⁴ = 5.5 ⁴ .

Allo stesso modo, quando una divisione viene elevata a una potenza, l'esponente apparterrà a ciascuno dei termini: (a / b) ^m = a ^m / b ^m .

Esempi

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸ .

- (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ² .

C'è il caso in cui l'esponente è negativo. Quindi, per essere positivo, il valore del numeratore viene invertito con quello del denominatore, come segue:

- (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ .

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴ .

Ottava legge: potere di un potere

Quando si ha una potenza che viene elevata a un'altra potenza, cioè due esponenti contemporaneamente, la base viene mantenuta e gli esponenti vengono moltiplicati: (a ^m ) ⁿ = a ^{m * n} .

Esempi

- (8 ³ ) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶ .

- (13 ⁹ ) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷ .

- (238 ¹⁰ ) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰ .

Nona legge: esponente frazionario

Se la potenza ha una frazione come esponente, questo si risolve trasformandola in una radice n-esima, dove il numeratore rimane come esponente e il denominatore rappresenta l'indice della radice:

Esempio

Esercizi risolti

Esercizio 1

Calcola le operazioni tra potenze che hanno basi diverse:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² .

Soluzione

Applicando le regole degli esponenti, le basi vengono moltiplicate al numeratore e l'esponente viene mantenuto, in questo modo:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Ora, poiché abbiamo le stesse basi ma con esponenti diversi, la base viene mantenuta e gli esponenti vengono sottratti:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ²

Esercizio 2

Calcola le operazioni tra potenze elevate a un'altra potenza:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

Soluzione

Applicando le leggi, devi:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46.656

Riferimenti

1. Aponte, G. (1998). Fondamenti di matematica di base. Pearson Education.
2. Corbalán, F. (1997). Matematica applicata alla vita quotidiana.
3. Jiménez, JR (2009). Matematica 1 SET.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra e trigonometria.
5. Rees, PK (1986). Reverte.