LE LEGGI DI KEPLERO: SPIEGAZIONE, ESERCIZI, ESPERIMENTI - FISICO - 2026

Le leggi di Keplero del moto planetario furono fatte dall'astronomo tedesco Johannes Kepler (1571-1630). Keplero li ha dedotti basandosi sul lavoro del suo maestro l'astronomo danese Tycho Brahe (1546-1601).

Brahe ha compilato con cura i dati sui movimenti planetari nel corso di oltre 20 anni, con sorprendente precisione e accuratezza, considerando che il telescopio non era ancora stato inventato all'epoca. La validità dei tuoi dati rimane valida anche oggi.

Figura 1. Le orbite dei pianeti secondo le leggi di Keplero. Fonte: Wikimedia Commons. Willow / CC BY (https://creativecommons.org/licenses/by/3.0)

Le 3 leggi di Keplero

Le leggi di Keplero affermano:

-Prima legge : tutti i pianeti descrivono orbite ellittiche con il Sole in uno dei fuochi.

Ciò significa che il rapporto T ² / r ³ è lo stesso per tutti i pianeti, il che rende possibile calcolare il raggio orbitale, se il periodo orbitale è noto.

Quando T è espresso in anni er in unità astronomiche AU *, la costante di proporzionalità è k = 1:

* Un'unità astronomica equivale a 150 milioni di chilometri, che è la distanza media tra la Terra e il Sole. Il periodo orbitale della Terra è di 1 anno.

Legge di gravitazione universale e terza legge di Keplero

La legge universale di gravitazione afferma che l'ampiezza della forza di attrazione gravitazionale tra due oggetti di massa M ed m rispettivamente, i cui centri sono separati da una distanza r, è data da:

G è la costante di gravitazione universale e il suo valore è G = 6,674 x 10 ^-11 Nm ² / kg ² .

Ora, le orbite dei pianeti sono ellittiche con un'eccentricità molto piccola.

Ciò significa che l'orbita non è molto lontana da una circonferenza, tranne in alcuni casi come il pianeta nano Plutone. Se approssimiamo le orbite alla forma circolare, l'accelerazione del moto del pianeta è:

Poiché F = ma, abbiamo:

Qui v è la velocità lineare del pianeta attorno al Sole, assunta statica e di massa M, mentre quella del pianeta è m. Così:

Questo spiega che i pianeti più lontani dal Sole hanno una velocità orbitale inferiore, poiché questa dipende da 1 / √r.

Poiché la distanza percorsa dal pianeta è approssimativamente la lunghezza della circonferenza: L = 2πr e impiega un tempo pari a T, periodo orbitale, otteniamo:

L'equazione di entrambe le espressioni per v fornisce un'espressione valida per T ² , il quadrato del periodo orbitale:

E questa è precisamente la terza legge di Keplero, poiché in questa espressione la parentesi 4π ² / GM è costante, quindi T ² è proporzionale alla distanza r al cubo.

L'equazione definitiva per il periodo orbitale si ottiene prendendo la radice quadrata:

Figura 3. Afelio e perielio. Fonte: Wikimedia Commons. Pearson Scott Foresman / Pubblico dominio

Pertanto, sostituiamo r con a nella terza legge di Keplero, che risulta per Halley in:

Soluzione b

a = ½ (Perielio + Afelio)

Sperimentare

L'analisi del movimento dei pianeti richiede settimane, mesi e persino anni di attenta osservazione e registrazione. Ma in laboratorio può essere condotto un esperimento molto semplice su una scala molto semplice per dimostrare che vale la legge di Keplero delle aree uguali.

Ciò richiede un sistema fisico in cui la forza che governa il movimento sia centrale, una condizione sufficiente per adempiere alla legge delle aree. Un tale sistema è costituito da una massa legata a una lunga fune, con l'altra estremità del filo fissata a un supporto.

La massa viene spostata di un piccolo angolo dalla sua posizione di equilibrio e gli viene dato un leggero impulso, in modo da eseguire un movimento ovale (quasi ellittico) sul piano orizzontale, come se fosse un pianeta attorno al Sole.

Sulla curva descritta dal pendolo, possiamo dimostrare che percorre aree uguali in tempi uguali, se:

-Consideriamo raggi vettoriali che vanno dal centro di attrazione (punto di equilibrio iniziale) alla posizione della massa.

-E spazziamo tra due istanti consecutivi di uguale durata, in due diverse aree del movimento.

Più lunga è la corda del pendolo e più piccolo è l'angolo dalla verticale, la forza di ripristino netta sarà più orizzontale e la simulazione assomiglia al caso di movimento con forza centrale su un piano.

Quindi l'ovale descritto si avvicina a un'ellisse, come quella percorsa dai pianeti.

materiale

-Filo estensibile

-1 sfera di massa o di metallo verniciata di bianco che funge da pendolo

-Righello

-Trasportatore

-Fotocamera fotografica con disco strobo automatico

-Supporta

-Due sorgenti luminose

-Un foglio di carta o cartone nero

Processi

L'assemblaggio della figura è necessario per scattare foto di più lampi del pendolo mentre segue il suo percorso. Per questo devi mettere la fotocamera appena sopra il pendolo e il disco strobo automatico davanti all'obiettivo.

Figura 4. Assemblaggio del pendolo per verificare che spazzi aree uguali in tempi uguali. Fonte: Guida del laboratorio PSSC.

In questo modo si ottengono immagini ad intervalli di tempo regolari del pendolo, ad esempio ogni 0,1 o ogni 0,2 secondi, il che ci permette di conoscere il tempo impiegato per spostarci da un punto all'altro.

Devi anche illuminare adeguatamente la massa del pendolo, posizionando le luci su entrambi i lati. La lenticchia dovrebbe essere dipinta di bianco per migliorare il contrasto sullo sfondo, che consiste in una carta nera stesa a terra.

Ora devi controllare che il pendolo percorra aree uguali in tempi uguali. Per fare ciò, viene scelto un intervallo di tempo e vengono segnati sulla carta i punti occupati dal pendolo in quell'intervallo.

Viene tracciata una linea sull'immagine dal centro dell'ovale a questi punti e così avremo la prima delle aree spazzate dal pendolo, che è approssimativamente un settore ellittico come quello mostrato sotto:

Figura 5. Area di un settore ellittico. Fonte: F. Zapata.

Calcolo dell'area della sezione ellittica

Con il goniometro si misurano gli angoli θ _o e θ ₁ , e questa formula viene utilizzata per trovare S, l'area del settore ellittico:

Con F (θ) dato da:

Nota che aeb sono rispettivamente il semiasse maggiore e minore. Il lettore deve solo preoccuparsi di misurare attentamente i semiassi e gli angoli, poiché ci sono calcolatori online per valutare facilmente questa espressione.

Tuttavia, se insisti a fare il calcolo a mano, ricorda che l'angolo θ è misurato in gradi, ma quando inserisci i dati nella calcolatrice, i valori devono essere espressi in radianti.

Bisogna poi segnare un'altra coppia di punti in cui il pendolo ha invertito lo stesso intervallo di tempo, e disegnare l'area corrispondente, calcolandone il valore con la stessa procedura.

Verifica del diritto delle pari aree

Infine resta da verificare che la legge delle aree sia rispettata, cioè che le aree uguali siano spazzate in tempi uguali.

I risultati si discostano leggermente da quanto previsto? Si deve sempre tenere presente che tutte le misurazioni sono accompagnate dal rispettivo errore sperimentale.

Riferimenti

1. Calcolatrice online Keisan. Area di un calcolatore di settore ellittico. Estratto da: keisan.casio.com.
2. Openstax. Legge di Keplero del moto planetario. Recupero da: openstax.org.
3. PSSC. Fisica di laboratorio. Reverté editoriale. Estratto da: books.google.co.
4. Palen, S. 2002. Astronomia. Serie Schaum. McGraw Hill.
5. Pérez R. Sistema semplice con forza centrale. Estratto da: francesphysics.blogspot.com
6. Stern, le tre leggi del moto planetario di D. Keplero. Estratto da: phy6.org.