LINEA PERPENDICOLARE: CARATTERISTICHE, ESEMPI, ESERCIZI - MATEMATICA - 2026

Una linea perpendicolare è quella che forma un angolo di 90 ° rispetto a un'altra linea, curva o superficie. Notare che quando due linee sono perpendicolari e giacciono sullo stesso piano, quando si intersecano, formano quattro angoli identici, ciascuno di 90º.

Se uno degli angoli non è di 90º, le linee si dicono oblique. Le linee perpendicolari sono comuni nel design, nell'architettura e nella costruzione, ad esempio la rete di condotte nell'immagine seguente.

Figura 1. Rete di tubi ad angolo retto e numerose linee perpendicolari. Quanti angoli di 90º possono essere contati in questa immagine? Fonte: Piqsels.

L'orientamento delle linee perpendicolari può essere diverso, come quelli mostrati di seguito:

Figura 2. Linee perpendicolari sul piano. Fonte: F. Zapata.

Indipendentemente dalla posizione, le linee perpendicolari tra loro vengono riconosciute identificando l'angolo tra loro di 90 °, con l'aiuto del goniometro.

Si noti che a differenza delle linee parallele nel piano, che non si intersecano mai, le linee perpendicolari lo fanno sempre in un punto P, chiamato il piede di una delle linee sull'altra. Quindi due linee perpendicolari sono anche secanti.

Ogni linea ha infinite perpendicolari ad essa, poiché semplicemente spostando il segmento AB a sinistra oa destra sul segmento CD, avremo nuove perpendicolari con un altro piede.

Tuttavia, la perpendicolare che passa proprio attraverso il punto medio di un segmento è chiamata bisettrice di quel segmento.

Esempi di rette perpendicolari

Le linee perpendicolari sono comuni nel paesaggio urbano. Nell'immagine seguente (figura 3) sono state evidenziate solo alcune delle tante linee perpendicolari che possono essere viste nella semplice facciata di questo edificio e dei suoi elementi come porte, condotti, gradini e altro:

Figura 3. Ci sono un gran numero di linee perpendicolari sulla facciata di un edificio comune come questo. Fonte: Richard Kang tramite Flickr.

La cosa buona è che tre linee perpendicolari l'una all'altra ci aiutano a stabilire la posizione di punti e oggetti nello spazio. Sono gli assi coordinati identificati come asse x, asse ye asse z, chiaramente visibili nell'angolo di una stanza rettangolare come quella qui sotto:

Figura 4. Il sistema di assi cartesiani è costituito da tre linee perpendicolari tra loro, ognuna con una direzione preferenziale nello spazio. Crediti immagine a sinistra: treybunn 2 tramite Flickr. Immagine a destra; Needpix.

Nel panorama della città, a destra, si nota anche la perpendicolarità tra il grattacielo e il suolo. Il primo che diremmo è lungo l'asse z, mentre il suolo è un piano, che in questo caso è il piano xy.

Se il suolo costituisce il piano xy, il grattacielo è anche perpendicolare a un qualsiasi viale o strada, il che ne garantisce la stabilità, poiché una struttura inclinata è instabile.

E nelle strade, ovunque ci siano angoli rettangolari, ci sono linee perpendicolari. Molti viali e strade hanno una disposizione perpendicolare, purché il terreno e le caratteristiche geografiche lo consentano.

Per esprimere la perpendicolarità abbreviata tra linee, segmenti o vettori, viene utilizzato il simbolo ⊥. Ad esempio, se la linea L ₁ è perpendicolare alla linea L ₂ , scriviamo:

L ₁ ⊥ L ₂

Altri esempi di linee perpendicolari

- Nel disegno le linee perpendicolari sono molto presenti, poiché molti oggetti comuni sono basati su quadrati e rettangoli. Questi quadrilateri sono caratterizzati dall'avere angoli interni di 90º, perché i loro lati sono paralleli a due a due:

Figura 5. Quadrati e rettangoli fanno parte di molti design, come questa semplice scatola di cartone per riporre la merce. Fonte: F. Zapata.

- I campi in cui si praticano diversi sport sono delimitati da numerosi quadrati e rettangoli. Questi a loro volta contengono linee perpendicolari.

- Due dei segmenti che compongono un triangolo rettangolo sono perpendicolari tra loro. Queste sono chiamate gambe, mentre la linea rimanente è chiamata ipotenusa.

- Le linee del vettore del campo elettrico sono perpendicolari alla superficie di un conduttore in equilibrio elettrostatico.

- Per un conduttore carico, le linee e le superfici equipotenziali sono sempre perpendicolari a quelle del campo elettrico.

- Nei sistemi di tubazioni o condotti utilizzati per il trasporto di diversi tipi di fluidi, come i gas che appaiono nella figura 1, è comune avere gomiti ad angolo retto. Pertanto formano linee perpendicolari, come nel caso di un locale caldaia:

Figura 6. Tubazioni in un locale caldaia. Fonte: Wikimedia Commons. Roger McLassus / CC BY-SA (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)

esercizi

- Esercizio 1

Disegna due linee perpendicolari usando un righello e un compasso.

Soluzione

È molto semplice da fare, seguendo questi passaggi:

-Viene tracciata la prima riga, chiamata AB (nera).

-Sopra (o sotto se preferisci) il punto AB del punto P, attraverso il quale passerà la perpendicolare. Se P è appena sopra (o sotto) la metà di AB, quella perpendicolare è la bisettrice del segmento AB.

-Con il compasso centrato su P, disegna un cerchio che taglia AB in due punti, chiamati A 'e B' (rosso).

-Il compasso viene aperto in A'P, è centrato su A 'e viene tracciata una circonferenza che passa per P (verde).

-Ripetere il passaggio precedente, ma ora aprendo la misura la lunghezza del segmento B'P (verde). Entrambi gli archi di circonferenza si intersecano nel punto Q sotto P e ovviamente in quest'ultimo.

-I punti P e Q sono uniti con il righello e la linea perpendicolare (blu) è pronta.

-Infine, tutte le costruzioni ausiliarie devono essere accuratamente cancellate, lasciando solo quelle perpendicolari.

Figura 6. Tracciamento di linee perpendicolari con righello e compasso. Fonte: Wikimedia Commons.

- Esercizio 2

Due linee L ₁ e L ₂ sono perpendicolari se le rispettive pendenze m ₁ em ₂ soddisfano questa relazione:

m ₁ = -1 / m ₂

Data la retta y = 5x - 2, trova una retta perpendicolare ad essa e che passi per il punto (-1, 3).

Soluzione

-Prima è la pendenza della linea perpendicolare m _⊥ , come indicato nella dichiarazione. La pendenza della linea originale è m = 5, il coefficiente che accompagna "x". Così:

m _⊥ = -1/5

_{-Quindi si costruisce} l'equazione della retta perpendicolare y _⊥, sostituendo il valore precedentemente trovato:

y _⊥ = -1 / 5x + b

-Poi si determina il valore di b, con l'aiuto del punto dato dall'enunciato, la (-1,3), poiché la retta perpendicolare deve attraversarlo:

y = 3

x = -1

sostituendo:

3 = -1/5 (-1) + b

Risolvi per il valore di b:

b = 3- (1/5) = 14/5

-Infine, viene costruita l'equazione finale:

e _⊥ = -1 / 5x + 14/5

Riferimenti

1. Baldor, A. 2004. Geometria del piano e dello spazio. Pubblicazioni culturali.
2. Clemens, S. 2001. Geometria con applicazioni e risoluzione di problemi. Addison Wesley.
3. La matematica è divertente. Linee perpendicolari. Estratto da: mathisfun.com.
4. Monterey Institute. Linee perpendicolari. Estratto da: montereyinstitute.org.
5. Wikipedia. Linee perpendicolari. Estratto da: es.wikipedia.org.