LIMITE DI FERMAT: IN COSA CONSISTE ED ESERCIZI RISOLTI - MATEMATICA - 2026

Il limite di Fermat è un metodo numerico utilizzato per ottenere il valore della pendenza di una retta, che è tangente a una funzione in un certo punto del suo dominio. Viene anche utilizzato per ottenere punti critici di una funzione. La sua espressione è definita come:

È ovvio che Fermat non conosceva i fondamenti della derivazione, tuttavia furono i suoi studi a spingere un gruppo di matematici a indagare sulle linee tangenti e sulle loro applicazioni nel calcolo.

Qual è il limite di Fermat?

Consiste in un avvicinamento di 2 punti, che nelle condizioni precedenti formano una linea secante alla funzione con intersezione a coppie di valori.

Avvicinando la variabile al valore "a", la coppia di punti è costretta a incontrarsi. In questo modo la retta precedentemente secante diventa tangente al punto (a; f (a)).

Il valore del quoziente (x - a), valutato al punto “a”, restituisce un'indeterminatezza dei limiti di tipo K compreso tra zero (K / 0). Dove attraverso diverse tecniche di factoring queste indeterminatezze possono essere spezzate.

Le tecniche operative più comunemente utilizzate sono:

-Differenza dei quadrati (a ² - b ² ) = (a + b) (a - b); L'esistenza dell'elemento (a - b) implica nella maggior parte dei casi il fattore che semplifica l'espressione (x - a) nel quoziente del limite di Fermat.

- Completamento dei quadrati (ax ² + bx); Dopo aver completato i quadrati, si ottiene un binomio di Newton, dove uno dei suoi 2 fattori viene semplificato con l'espressione (x - a), rompendo l'indeterminatezza.

- Coniugato (a + b) / (a ​​+ b); Moltiplicare e dividere l'espressione per il coniugato di qualche fattore può essere di grande aiuto per spezzare l'indeterminatezza.

- Fattore comune; In molti casi il risultato dell'operare il numeratore del limite di Fermat f (x) - f (a) nasconde il fattore (x - a) necessario per fattorizzare. Per questo, si osserva attentamente quali elementi vengono ripetuti in ciascun fattore dell'espressione.

Applicazione del limite di Fermat per massimi e minimi

Sebbene il limite di Fermat non distingua tra massimi e minimi, poiché può identificare solo i punti critici secondo la sua definizione, è comunemente usato nel calcolo di cap o floor di funzioni nel piano.

Una conoscenza di base della teoria grafica delle funzioni in combinazione con questo teorema può essere sufficiente per stabilire i valori massimi e minimi tra le funzioni. Infatti i punti di flesso possono essere definiti tramite il teorema del valore medio oltre al teorema di Fermat.

La parabola cubica

Il paradosso più significativo per Fermat è venuto dallo studio della parabola cubica. Poiché la sua attenzione era rivolta alle linee tangenti di una funzione per un dato punto, si è imbattuto nel problema di definire detta linea tangente nel punto di flesso della funzione.

Sembrava impossibile determinare la linea tangente a un punto. Inizia così l'indagine che darebbe origine al calcolo differenziale. Definito successivamente da importanti esponenti della matematica.

Massimo e minimo

Lo studio dei massimi e dei minimi di una funzione era una sfida per la matematica classica, dove era necessario un metodo pratico e non ambiguo per definirli.

Fermat ha creato un metodo basato sul funzionamento di piccoli valori differenziali, che dopo i processi di factoring, vengono eliminati lasciando il posto al valore massimo e minimo ricercato.

Questa variabile dovrà essere valutata nell'espressione originale per determinare la coordinata di detto punto, che insieme a criteri analitici verrà definita come il massimo o il minimo dell'espressione.

Metodo

Nel suo metodo, Fermat usa il simbolismo letterale di Vieta, che consisteva nell'uso esclusivo di lettere maiuscole: vocali, per incognite, e consonanti per quantità note.

Per il caso dei valori radicali, Fermat ha implementato un particolare processo, che in seguito sarebbe stato utilizzato nelle fattorizzazioni dei limiti di indeterminatezza infinita tra l'infinito.

Questo processo consiste nel dividere ciascuna espressione per il valore del differenziale utilizzato. Nel caso di Fermat, ha usato la lettera E, dove dopo aver diviso per la potenza più alta di E, il valore cercato del punto critico diventa cancellabile.

Storia

Il limite di Fermat è infatti uno dei contributi meno rinomati nel lungo elenco del matematico. I suoi studi sono passati dai numeri primi alla creazione fondamentalmente delle basi per il calcolo.

A sua volta, Fermat era noto per le sue eccentricità rispetto alle sue ipotesi. Era normale per lui lasciare una sorta di sfida agli altri matematici dell'epoca, quando aveva già la soluzione o la dimostrazione.

Aveva una grande varietà di controversie e alleanze con diversi matematici dell'epoca, che amavano o odiavano lavorare con lui.

Il suo ultimo teorema è stato il principale responsabile della sua fama mondiale, dove ha affermato che una generalizzazione del teorema di Pitagora per qualsiasi grado "n" era impossibile. Ha affermato di avere una prova valida, ma è morto prima di renderla pubblica.

Questa manifestazione ha dovuto attendere circa 350 anni. Nel 1995 i matematici Andrew Wiles e Richard Taylor, misero fine all'ansia lasciata da Fermat, dimostrando che aveva ragione attraverso una valida dimostrazione del suo ultimo teorema.

esercizi

Esercizio 1

Definisce la pendenza della linea tangente alla curva f (x) = x ² nel punto (4, 16)

Sostituendo nell'espressione del limite di Fermat abbiamo:

I fattori (x - 4) sono semplificati

Quando valuti hai

M = 4 + 4 = 8

Esercizio 2

Definire il punto critico dell'espressione f (x) = x ² + 4x utilizzando il limite di Fermat

Viene effettuato un raggruppamento strategico di elementi, cercando di raggruppare le coppie XX ₀

Vengono sviluppati i minimi quadrati

Osservare il fattore comune XX _{0 ed estrarre}

L'espressione può ora essere semplificata e l'indeterminatezza spezzata

Nei punti di minimo si sa che la pendenza della tangente è uguale a zero. In questo modo possiamo equalizzare l'espressione trovata a zero e risolvere per il valore X ₀

2 X ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

Per ottenere la coordinata mancante è solo necessario valutare il punto nella funzione originale

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4-8 = - 4

Il punto critico è P (-2, -4).

Riferimenti

1. Analisi reale. Un approccio storico Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, 5 agosto. 1999.
2. La carriera matematica di Pierre de Fermat, 1601-1665: seconda edizione. Michael Sean Mahoney. Princeton University Press, 5 giugno. 2018
3. Da Fermat a Minkowski: lezioni sulla teoria dei numeri e il suo sviluppo storico. W. Scharlau, H. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
4. L'ultimo teorema di Fermat: un'introduzione genetica alla teoria dei numeri algebrici. Harold M. Edwards. Springer Science & Business Media, 14 gennaio 2000
5. Fermat Days 85: Matematica per l'ottimizzazione. J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier, 1 gennaio. 1986