LOGICA MATEMATICA: ORIGINE, COSA STUDIA, TIPOLOGIE - MATEMATICA - 2024

La logica matematica o logica simbolica è un linguaggio matematico che copre gli strumenti attraverso i quali si può affermare o negare un ragionamento matematico.

È noto che non ci sono ambiguità in matematica. Dato un argomento matematico, o è valido o semplicemente non lo è. Non può essere falso e vero allo stesso tempo.

Un aspetto particolare della matematica è che ha un linguaggio formale e rigoroso mediante il quale è possibile determinare la validità di un argomento. Che cos'è che rende inconfutabile un certo ragionamento o una prova matematica? Questo è ciò che riguarda la logica matematica.

Pertanto, la logica è la disciplina della matematica che è responsabile dello studio del ragionamento e delle dimostrazioni matematiche e che fornisce gli strumenti per poter inferire una conclusione corretta da affermazioni o proposizioni precedenti.

Per fare ciò, vengono utilizzati assiomi e altri aspetti matematici che verranno sviluppati in seguito.

Origine e storia

Le date esatte rispetto a molti aspetti della logica matematica sono incerte. Tuttavia, la maggior parte delle bibliografie sull'argomento fanno risalire la sua origine all'antica Grecia.

Aristotele

L'inizio del trattamento rigoroso della logica è attribuito, in parte, ad Aristotele, che scrisse una serie di opere di logica, che furono successivamente compilate e sviluppate da diversi filosofi e scienziati, fino al Medioevo. Questa potrebbe essere considerata "la vecchia logica".

Successivamente, in quella che è conosciuta come l'Età contemporanea, Leibniz, mosso da un profondo desiderio di stabilire un linguaggio universale per ragionare matematicamente, e altri matematici come Gottlob Frege e Giuseppe Peano, influenzarono notevolmente lo sviluppo della logica matematica con grandi contributi , tra questi, gli assiomi di Peano, che formulano proprietà indispensabili dei numeri naturali.

Anche i matematici George Boole e Georg Cantor furono di grande influenza in questo momento, con importanti contributi nella teoria degli insiemi e nelle tabelle di verità, evidenziando, tra gli altri aspetti, l'algebra booleana (di George Boole) e l'assioma della scelta (di George Cantor).

C'è anche Augustus De Morgan con le famose leggi Morgan, che contemplano negazioni, congiunzioni, disgiunzioni e condizionali tra proposizioni, chiavi dello sviluppo della Logica Simbolica, e Jhon Venn con i famosi diagrammi di Venn.

Nel XX secolo, all'incirca tra il 1910 e il 1913, Bertrand Russell e Alfred North Whitehead si sono distinti con la loro pubblicazione di Principia matematica, una serie di libri che raccoglie, sviluppa e postula una serie di assiomi e risultati della logica.

Cosa studia la logica matematica?

proposizioni

La logica matematica inizia con lo studio delle proposizioni. Una proposizione è un'affermazione che può essere detta senza alcuna ambiguità se è vera o no. I seguenti sono esempi di proposizioni:

• 2 + 4 = 6.
• 5 ² = 35.
• Nel 1930 ci fu un terremoto in Europa.

La prima è un'affermazione vera e la seconda è un'affermazione falsa. Il terzo, anche se la persona che lo legge potrebbe non sapere se è vero o immediatamente, è un'affermazione che può essere verificata e determinata se è realmente accaduta o meno.

I seguenti sono esempi di espressioni che non sono proposizioni:

• Lei è bionda.
• 2x = 6.
• Giochiamo!
• Ti piacciono i film

Nella prima proposizione non si specifica chi sia "lei", quindi nulla si può affermare. Nella seconda proposizione, cosa rappresenta "x" non è stato specificato. Se invece si dicesse che 2x = 6 per qualche numero naturale x, in questo caso corrisponderebbe ad una proposizione, appunto vera, poiché per x = 3 è soddisfatta.

Le ultime due affermazioni non corrispondono a una proposizione, poiché non c'è modo di negarle o affermarle.

Due o più proposizioni possono essere combinate (o collegate) utilizzando connettivi logici ben noti (o connettori). Questi sono:

• Negazione: "Non piove".
• Disgiunzione: "Luisa ha comprato una borsa bianca o grigia".
• Congiunzione: "4 ² = 16 e 2 × 5 = 10".
• Condizionale: "Se piove, questo pomeriggio non vado in palestra".
• Condizionale: "Vado in palestra questo pomeriggio se, e solo se, non piove".

Una proposizione che non ha nessuno dei connettivi precedenti è chiamata proposizione semplice (o atomica). Ad esempio, "2 è minore di 4" è una semplice proposizione. Le proposizioni che hanno qualche connettivo sono chiamate proposizioni composte, come "1 + 3 = 4 e 4 è un numero pari".

Le affermazioni fatte per mezzo di proposizioni sono generalmente lunghe, quindi è noioso scriverle sempre come si è visto finora. Per questo motivo viene utilizzato un linguaggio simbolico. Le proposizioni sono solitamente rappresentate da lettere maiuscole come P, Q, R, S, ecc. E i connettivi simbolici come segue:

Così che

Il contrario di una proposizione condizionale

è la proposizione

E il contro-reciproco (o contropositivo) di una proposizione

è la proposizione

Tabelle della verità

Un altro concetto importante nella logica è quello delle tabelle di verità. I valori di verità di una proposizione sono le due possibilità per una proposizione: vero (che sarà denotato da V e si dirà che il suo valore di verità è V) o falso (che sarà denotato da F e si dirà che il suo valore è davvero F).

Il valore di verità di una proposizione composta dipende esclusivamente dai valori di verità delle proposizioni semplici che compaiono in essa.

Per lavorare più in generale, non considereremo proposizioni specifiche, ma variabili proposizionali p, q, r, s, ecc., Che rappresenteranno qualsiasi proposizione.

Con queste variabili e i connettivi logici si formano le ben note formule proposizionali, proprio come vengono costruite le proposizioni composte.

Se ciascuna delle variabili che appaiono in una formula proposizionale viene sostituita da una proposizione, si ottiene una proposizione composta.

Di seguito sono riportate le tabelle di verità per i connettivi logici:

Ci sono formule proposizionali che ricevono solo il valore V nella loro tabella di verità, cioè l'ultima colonna della loro tabella di verità ha solo il valore V. Questi tipi di formule sono conosciute come tautologie. Per esempio:

Quella che segue è la tabella di verità della formula

Si dice che una formula α implichi logicamente un'altra formula β, se α è vero ogni volta che β è vero. Cioè, nella tabella di verità di α e β, le righe in cui α ha V, anche β ha V. Siamo interessati solo alle righe in cui α ha valore V. La notazione per l'implicazione logica è la seguente :

La tabella seguente riassume le proprietà dell'implicazione logica:

Si dice che due formule proposizionali siano logicamente equivalenti se le loro tabelle di verità sono identiche. La seguente notazione viene utilizzata per esprimere l'equivalenza logica:

Le tabelle seguenti riassumono le proprietà dell'equivalenza logica:

Tipi di logica matematica

Esistono diversi tipi di logica, soprattutto se si tiene conto della logica pragmatica o informale che punta alla filosofia, tra le altre aree.

Per quanto riguarda la matematica, i tipi di logica potrebbero essere riassunti in:

• Logica formale o aristotelica (logica antica).
• Logica proposizionale: è responsabile dello studio di tutto ciò che riguarda la validità di argomenti e proposizioni utilizzando un linguaggio formale e simbolico.
• Logica simbolica: focalizzata sullo studio degli insiemi e delle loro proprietà, anche con un linguaggio formale e simbolico, ed è profondamente legata alla logica proposizionale.
• Logica combinatoria: una delle più recentemente sviluppate, coinvolge risultati che possono essere sviluppati utilizzando algoritmi.
• Programmazione logica: utilizzata nei vari pacchetti e linguaggi di programmazione.

le zone

Tra le aree che fanno uso della logica matematica in modo indispensabile nello sviluppo dei loro ragionamenti e argomentazioni, spiccano la filosofia, la teoria degli insiemi, la teoria dei numeri, la matematica costruttiva algebrica e i linguaggi di programmazione.

Riferimenti

1. Aylwin, CU (2011). Logica, insiemi e numeri. Mérida - Venezuela: Publications Council, Universidad de Los Andes.
2. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M. e Soto, A. (1998). Introduzione alla teoria dei numeri. EUNED.
3. Castañeda, S. (2016). Corso base di teoria dei numeri. Università del Nord.
4. Cofré, A. e Tapia, L. (1995). Come sviluppare il ragionamento logico matematico. Casa editrice universitaria.
5. Saragozza, AC (sf). Teoria dei numeri Editoriale Vision Libros.