L' inverso moltiplicativo di un numero è inteso come un altro numero che moltiplicato per il primo dà l'elemento neutro del prodotto, cioè l'unità. Se abbiamo un numero reale a, il suo inverso moltiplicativo è denotato da -1 , ed è vero che:
aa -1 = a -1 a = 1
In generale, il numero a appartiene all'insieme dei numeri reali.
Figura 1. Y è l'inverso moltiplicativo di X e X è l'inverso moltiplicativo di Y.
Se per esempio prendiamo a = 2, allora il suo inverso moltiplicativo è 2-1 = ½ poiché vale quanto segue:
2 ⋅ 2-1 = 2-1 ⋅ 2 = 1
2⋅ ½ = ½ ⋅ 2 = 1
L'inverso moltiplicativo di un numero è anche chiamato reciproco, perché l'inverso moltiplicativo si ottiene scambiando numeratore e denominatore, ad esempio l'inverso moltiplicativo di 3/4 è 4/3.
Come regola generale si può dire che per un numero razionale (p / q) il suo inverso moltiplicativo (p / q) -1 è reciproco (q / p) come si può verificare di seguito:
(p / q) ⋅ (p / q) -1 = (p / q) ⋅ (q / p) = (p⋅ q) / (q⋅ p) = (p⋅ q) / (p⋅ q) = uno
Ricorda che l'inverso moltiplicativo è anche chiamato reciproco perché si ottiene proprio scambiando numeratore e denominatore.
Quindi l'inverso moltiplicativo di (a - b) / (a ^ 2 - b ^ 2) sarà:
(a ^ 2 - b ^ 2) / (a - b)
Ma questa espressione può essere semplificata se riconosciamo, secondo le regole dell'algebra, che il numeratore è una differenza di quadrati che può essere scomposta come il prodotto di una somma per differenza:
((a + b) (a - b)) / (a - b)
Essendo presente un fattore comune (a - b) nel numeratore e nel denominatore, procediamo a semplificare, ottenendo infine:
(a + b) che è l'inverso moltiplicativo di (a - b) / (a ^ 2 - b ^ 2).
Riferimenti
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- Haeussler, EF e Paul, RS (2003). Matematica per la gestione e l'economia. Pearson Education.
- Jiménez, J., Rofríguez, M. e Estrada, R. (2005). Matematica 1 SET. Soglia.
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- Rock, NM (2006). Algebra I è facile! Così facile. Team Rock Press.
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