L' interpolazione lineare è un metodo che origina l'interpolazione e l'approssimazione di Newton generale per determinare un valore sconosciuto compreso tra due numeri dati; ovvero, viene trovato un valore intermedio. Si applica anche a funzioni approssimative, dove i valori f (a) ef (b) sono noti e si vuole conoscere l'intermedio di f (x) .
Esistono diversi tipi di interpolazione, come lineare, quadratica, cubica e di gradi superiori, la più semplice è l'approssimazione lineare. Il prezzo che deve essere pagato con l'interpolazione lineare è che il risultato non sarà accurato come con le approssimazioni che utilizzano funzioni di gradi più alti.
Definizione
L'interpolazione lineare è un processo che consente di dedurre un valore tra due valori ben definiti, che possono essere in una tabella o in un grafico a linee.
Ad esempio, se sai che 3 litri di latte valgono $ 4 e che 5 litri valgono $ 7, ma vuoi sapere qual è il valore di 4 litri di latte, interpoli per determinare quel valore intermedio.
Metodo
Per stimare un valore intermedio di una funzione, la funzione f (x) viene approssimata mediante una retta r (x) , il che significa che la funzione varia linearmente con «x» per una sezione «x = a» e «x = b "; ovvero, per un valore "x" nell'intervallo (x 0 , x 1 ) e (y 0 , y 1 ), il valore di "y" è dato dalla linea tra i punti ed è espresso dalla seguente relazione:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Affinché un'interpolazione sia lineare, il polinomio di interpolazione deve essere di grado uno (n = 1), in modo che si adatti ai valori di x 0 e x 1.
L'interpolazione lineare si basa sulla somiglianza dei triangoli, in modo tale che, derivando geometricamente dall'espressione precedente, si possa ottenere il valore di "y", che rappresenta il valore sconosciuto di "x".
In questo modo devi:
a = tan Ɵ = (gamba opposta 1 ÷ gamba adiacente 1 ) = (gamba opposta 2 ÷ gamba adiacente 2 )
Espresso in un altro modo, è:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Risolvendo per «e» dalle espressioni, abbiamo:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) *
Pertanto, si ottiene l'equazione generale per l'interpolazione lineare:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
In generale, l'interpolazione lineare fornisce un piccolo errore sul valore reale della funzione vera, sebbene l'errore sia minimo rispetto a se si sceglie intuitivamente un numero vicino a quello che si desidera trovare.
Questo errore si verifica quando si cerca di approssimare il valore di una curva con una linea retta; In questi casi, la dimensione dell'intervallo deve essere ridotta per rendere l'approssimazione più precisa.
Per ottenere migliori risultati sull'approssimazione, si consiglia di utilizzare funzioni di grado 2, 3 o anche di gradi superiori per eseguire l'interpolazione. Per questi casi il teorema di Taylor è uno strumento molto utile.
Esercizi risolti
Esercizio 1
Il numero di batteri per unità di volume esistente in un'incubazione dopo x ore è presentato nella tabella seguente. Vuoi sapere qual è il volume dei batteri per il tempo di 3,5 ore.
Soluzione
La tabella di riferimento non stabilisce un valore che indichi la quantità di batteri per un tempo di 3,5 ore, ma ci sono valori superiore e inferiore corrispondenti ad un tempo rispettivamente di 3 e 4 ore. Quel modo:
x 0 = 3 e 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 e 1 = 135
Ora, l'equazione matematica viene applicata per trovare il valore interpolato, che è il seguente:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * .
Quindi i valori corrispondenti vengono sostituiti:
y = 91 + (135-91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Si ottiene così che per un tempo di 3,5 ore il numero di batteri è 113, che rappresenta un livello intermedio tra il volume di batteri esistente nei tempi di 3 e 4 ore.
Esercizio 2
Luis ha una fabbrica di gelati e vuole fare uno studio per determinare il reddito che ha avuto ad agosto in base alle spese sostenute. L'amministratore dell'azienda fa un grafico che esprime questo rapporto, ma Luis vuole sapere:
Qual è il reddito per agosto, se è stata sostenuta una spesa di $ 55.000?
Soluzione
Viene fornito un grafico con i valori delle entrate e delle spese. Luis vuole sapere quali sono le entrate per agosto se la fabbrica avesse una spesa di $ 55.000. Questo valore non si riflette direttamente nel grafico, ma i valori sono maggiori e minori di questo.
Per prima cosa viene creata una tabella dove mettere facilmente in relazione i valori:
Ora, la formula di interpolazione viene utilizzata per determinare così il valore di y
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Quindi i valori corrispondenti vengono sostituiti:
y = 56.000 + (78.000 - 56.000) *
y = 56.000 + (22.000) *
y = 56.000 + (22.000) * (0,588)
y = 56.000 + 12.936
y = $ 68.936.
Se in agosto è stata effettuata una spesa di $ 55.000, il reddito è stato di $ 68.936.
Riferimenti
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra e trigonometria con geometria analitica. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000). Argomenti in Teoria geometrica dei gruppi. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Interpolazione lineare ", Encyclopedia of Mathematics.
- , JM (1998). Elementi di metodi numerici per l'ingegneria. UASLP.
- , E. (2002). Una cronologia dell'interpolazione: dall'astronomia antica alla moderna elaborazione di segnali e immagini. Atti della IEEE.
- numerico, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.