IDENTITÀ PITAGORICHE: DIMOSTRAZIONE, ESEMPIO, ESERCIZI - MATEMATICA - 2024

Le identità pitagoriche sono tutte equazioni trigonometriche che valgono per qualsiasi valore dell'angolo e si basano sul teorema di Pitagora. La più famosa delle identità pitagoriche è l'identità trigonometrica fondamentale:

Peccato ² (α) + Cos ² (α) = 1

Figura 1. Identità trigonometriche pitagoriche.

Avanti in importanza e uso l'identità pitagorica della tangente e della secante:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

E l'identità trigonometrica pitagorica che coinvolge la cotangente e la cosecante:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

Dimostrazione

I rapporti trigonometrici seno e coseno sono rappresentati su un cerchio di raggio uno (1) noto come cerchio trigonometrico. Detto cerchio ha il centro all'origine delle coordinate O.

Gli angoli sono misurati dal semiasse positivo delle X, ad esempio l'angolo α nella figura 2 (vedi sotto). In senso antiorario se l'angolo è positivo e in senso orario se è negativo.

Si traccia il raggio di origine O e angolo α, che intercetta la circonferenza unitaria nel punto P. Il punto P è proiettato ortogonalmente sull'asse orizzontale X dando origine al punto C.In modo analogo P è proiettato perpendicolarmente sull'asse verticale Y dando posto a punto S.

Abbiamo il triangolo rettangolo OCP in C.

Seno e coseno

Va ricordato che il rapporto trigonometrico seno è definito su un triangolo rettangolo come segue:

Il seno di un angolo del triangolo è il rapporto o quoziente tra la gamba opposta all'angolo e l'ipotenusa del triangolo.

Applicato al triangolo OCP di figura 2 sarebbe simile a questo:

Sen (α) = CP / OP

ma CP = OS e OP = 1, in modo che:

Sen (α) = OS

Ciò significa che l'OS di proiezione sull'asse Y ha un valore uguale al seno dell'angolo visualizzato. Si noti che il valore massimo del seno di un angolo (+1) si verifica quando α = 90º e il minimo (-1) quando α = -90º o α = 270º.

Figura 2. Cerchio trigonometrico che mostra la relazione tra il teorema di Pitagora e l'identità trigonometrica fondamentale. (Elaborazione propria)

Allo stesso modo, il coseno di un angolo è il quoziente tra la gamba adiacente all'angolo e l'ipotenusa del triangolo.

Applicato al triangolo OCP di figura 2 sarebbe simile a questo:

Cos (α) = OC / OP

ma OP = 1, quindi:

Cos (α) = OC

Ciò significa che la proiezione OC sull'asse X ha un valore uguale al seno dell'angolo mostrato. Si noti che il valore massimo del coseno (+1) si verifica quando α = 0º o α = 360º, mentre il valore minimo del coseno è (-1) quando α = 180º.

L'identità fondamentale

Per il triangolo rettangolo OCP in C, viene applicato il teorema di Pitagora, che afferma che la somma del quadrato delle gambe è uguale al quadrato dell'ipotenusa:

CP ² + OC ² = OP ²

Ma è già stato detto che CP = OS = Sen (α), che OC = Cos (α) e che OP = 1, quindi l'espressione precedente può essere riscritta in funzione del seno e del coseno dell'angolo:

Peccato ² (α) + Cos ² (α) = 1

L'asse della tangente

Così come l'asse X nel cerchio trigonometrico è l'asse del coseno e l'asse Y l'asse seno, allo stesso modo c'è l'asse tangente (vedi figura 3) che è precisamente la linea tangente al cerchio unitario nel punto B delle coordinate (1, 0).

Se vuoi conoscere il valore della tangente di un angolo, l'angolo è tratto dal semiasse positivo della X, l'intersezione dell'angolo con l'asse della tangente definisce un punto Q, la lunghezza del segmento OQ è la tangente della angolo.

Questo perché per definizione, la tangente dell'angolo α è la gamba opposta QB tra la gamba adiacente OB. Cioè, Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Figura 3. Il cerchio trigonometrico che mostra l'asse della tangente e l'identità pitagorica della tangente. (Elaborazione propria)

L'identità pitagorica della tangente

L'identità pitagorica della tangente può essere dimostrata considerando il triangolo rettangolo OBQ in B (Figura 3). Applicando il teorema di Pitagora a questo triangolo abbiamo che BQ ² + OB ² = OQ ² . Ma è già stato detto che BQ = Tan (α), che OB = 1 e che OQ = Sec (α), quindi sostituendo nell'uguaglianza pitagorica al triangolo rettangolo OBQ abbiamo:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α).

Esempio

Controlla se le identità pitagoriche sono soddisfatte o meno nel triangolo rettangolo delle gambe AB = 4 e BC = 3.

Soluzione: le gambe sono note, è necessario determinare l'ipotenusa, ovvero:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

L'angolo ∡BAC sarà chiamato α, ∡BAC = α. Ora i rapporti trigonometrici sono determinati:

Sen α = BC / AC = 3/5

Cos α = AB / AC = 4/5

Quindi α = BC / AB = 3/4

Cotan α = AB / BC = 4/3

Sec α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

Inizia con l'identità trigonometrica fondamentale:

Peccato ² (α) + Cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Si è concluso che è soddisfatto.

- La prossima identità pitagorica è quella della tangente:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

E si conclude che l'identità della tangente è verificata.

- In modo simile a quello della cotangente:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Si conclude che è anche adempiuto, con il quale è stato completato il compito di verificare le identità pitagoriche per il triangolo dato.

Esercizi risolti

Dimostrare le seguenti identità, sulla base delle definizioni dei rapporti trigonometrici e delle identità pitagoriche.

Esercizio 1

Dimostrare che Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Soluzione: Nella parte destra riconosciamo il notevole prodotto della moltiplicazione di un binomio per il suo coniugato che, come sappiamo, è una differenza di quadrati:

Cos ² x = 1 ² - Sin ² x

Quindi il termine con seno sul lato destro passa al lato sinistro con il segno cambiato:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Notando che è stata raggiunta l'identità trigonometrica fondamentale, si conclude che l'espressione data è un'identità, cioè è vera per qualsiasi valore di x.

Esercizio 2

A partire dall'identità trigonometrica fondamentale e utilizzando le definizioni dei rapporti trigonometrici, dimostrare l'identità pitagorica della cosecante.

Soluzione: l'identità fondamentale è:

Peccato ² (x) + Cos ² (x) = 1

Entrambi i membri sono divisi per Sen ² (x) e il denominatore è distribuito nel primo membro:

Sin ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

È semplificato:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) è un'identità (non pitagorica) verificata dalla definizione stessa dei rapporti trigonometrici. Lo stesso accade con la seguente identità: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Infine devi:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

Riferimenti

1. Baldor J. (1973). Geometria del piano e dello spazio con un'introduzione alla trigonometria. Centro culturale americano. AC
2. CEA (2003). Elementi di geometria: con esercizi e geometria della bussola. Università di Medellin.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematica 2. Grupo Editorial Patria.
4. IGER. (Sf). Matematica Primo semestre Tacaná. IGER.
5. Jr. geometria. (2014). Poligoni. Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heeren e Hornsby. (2006). Matematica: ragionamento e applicazioni (decima edizione). Pearson Education.
7. Patiño, M. (2006). Matematica 5. Editoriale Progreso.
8. Wikipedia. Identità e formule di trigonometria. Estratto da: es.wikipedia.com